MÉCANIQUE CÉLESTE
Problèmes généraux classiques et modernes
Orbites périodiques. Résonance
Des résultats théoriques importants concernant le problème des trois corps ont été obtenus en introduisant des orbites particulières, appelées orbites périodiques. Les premières ont été trouvées par Lagrange, et la théorie complète en a été faite par Poincaré.
Considérons un système d'équations différentielles de la forme :
Les solutions périodiques sont classées en trois catégories. La première correspond à des mouvements plans et quasi circulaires, la deuxième à des mouvements plans mais où les orbites ont une excentricité non négligeable, la troisième à des inclinaisons non nulles.
Un des problèmes de mécanique céleste théorique les plus classiques est le problème restreint des trois corps. Deux des corps, de masses μ et 1 − μ, ont chacun un mouvement circulaire et uniforme autour de leur centre de gravité commun O ; un troisième corps, de masse négligeable, est soumis à l'attraction des deux premiers et se déplace dans le plan de leurs orbites. On étudie le mouvement dans un système d'axes tournants d'origine O, l'un des axes passant constamment par les deux premiers corps. De nombreuses recherches ont été faites pour trouver des orbites périodiques du troisième corps dans le système d'axes tournants. Signalons à ce propos le cas particulier dit problème de Copenhague, pour lequel μ = 1/2.
Une orbite périodique célèbre est l'orbite variationnelle de Hill. On considère un système d'axes tournants ayant pour origine le centre de la Terre et dont l'un des axes de coordonnées est dirigé vers le Soleil, que l'on suppose à l'infini. Les axes tournent avec une vitesse angulaire constante égale à la vitesse angulaire moyenne de la Terre autour du Soleil. Le mouvement de la Lune, dont on néglige l'inclinaison de l'orbite, obéit alors à un système d'équations différentielles assez simple dont on peut trouver une solution périodique. Dans le système d'axes tournants, la Lune décrit une sorte d'ovale centré sur la Terre, l'orbite de Hill, qui a servi à Brown pour une théorie complète du mouvement de la Lune.
Citons aussi les orbites périodiques dont Lagrange avait démontré la possibilité : trois corps décrivent des orbites elliptiques semblables, ces trois corps restant constamment aux trois sommets d'un triangle équilatéral ; il est curieux de signaler que cent ans après la découverte de Lagrange, on a effectivement trouvé des petites planètes, qualifiées de troyennes, qui occupent les sommets de deux triangles équilatéraux dont les deux autres sommets sont occupés par le Soleil et par Jupiter.
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Écrit par
- Bruno MORANDO : docteur ès sciences, astronome au Bureau des longitudes
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Figure 2
Encyclopædia Universalis France
Figure 3
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