FLUIDES MÉCANIQUE DES
Dynamique des fluides
Tenseur des contraintes
Équations de la dynamique des fluides
Encyclopædia Universalis France
Lorsqu'un fluide est en mouvement, la résultante des efforts exercés par le fluide placé d'un côté d'un élément de surface sur le fluide placé de l'autre côté est une force élémentaire dF proportionnelle à l'aire dσ de l'élément de surface :
Loi de comportement
Le champ tensoriel des contraintes est lié au champ vectoriel des vitesses par une expression appelée loi de comportement du fluide. Pour un gaz ou un liquide ordinaire (à l'exclusion des suspensions et des solutions de macromolécules), il existe des relations linéaires entre les composantes du tenseur des contraintes et les dérivées partielles d'espace des composantes de la vitesse, qui sont également au nombre de neuf. On dit alors que le fluide est newtonien : dans l'équation (12), les indices i et k peuvent être remplacés par x, par y ou par z, les variables indépendantes indicées étant x1 = x, x2 = y et x3 = z ; le symbole de Kronecker δik est égal à 1 si les indices i et k sont identiques, et à 0 si ces indices sont différents ; μ est le coefficient de viscosité dynamique. Le rapport ν = μ/ρ de la viscosité à la masse volumique est appelé viscosité cinématique.
Équations de Navier-Stokes
La différence entre les quantités de mouvement entrant et sortant par les faces d'un élément de volume parallélépipédique fixe est égale à la résultante des forces appliquées à cet élément, c'est-à-dire à la résultante des forces dues aux contraintes sur les faces et des forces volumiques.
Cela s'exprime par l'équation (13), où l'indice i est remplacé successivement par x, y et z. D (ρVi)/Dt est une composante de la dérivée particulaire du vecteur ρV, quantité de mouvement volumique du fluide. Cette dérivée doit son nom au fait qu'elle est la dérivée par rapport au temps du vecteur ρV dans un référentiel qui se déplace avec la particule fluide (14). Fi est une composante du champ vectoriel des forces volumiques, c'est-à-dire, par exemple, composante du champ de gravitation, du champ des forces centrifuges et des forces de Coriolis (pour les fluides en rotation par rapport à un référentiel fixe), du champ des forces de Lorentz (pour les fluides conducteurs dans un champ magnétique) ou de leurs combinaisons.
Si l'on introduit la loi de comportement (12) dans l'équation (13) de conservation de la quantité de mouvement, on obtient un système de trois équations non linéaires aux dérivées partielles du second ordre appelées équations de Navier-Stokes (15), où les indices i, k, l sont obtenus par permutation circulaire des nombres 1, 2, 3.
Pour résoudre les équations et obtenir le champ des vitesses, par exemple autour d'un obstacle, il faut tenir compte des conditions aux limites à satisfaire :
– sur les obstacles solides, il doit y avoir égalité des vitesses locales du fluide et du solide (condition de non-glissement) ;
– sur les interfaces avec un autre fluide non miscible, il doit y avoir non seulement égalité des vitesses des deux fluides, mais encore égalité des contraintes tangentielles. En outre, les contraintes normales doivent satisfaire à la loi de Laplace (8).
La description complète d'un écoulement nécessite la connaissance des champs de vitesse, des champs de pression et de la masse volumique en chaque point. Il faut ainsi[...]
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Écrit par
- Jean-François DEVILLERS : docteur ès sciences, chef de la section fluides et thermique à l'École nationale supérieure des techniques avancées
- Claude FRANÇOIS : ingénieur en chef de l'Armement, professeur à l'École nationale supérieure des techniques avancées, maître de conférences à l'École polytechnique, directeur de l'enseignement militaire à la Délégation générale pour l'armement, Arcueil
- Bernard LE FUR : directeur de recherche au C.N.R.S., directeur du laboratoire de mécanique théorique de l'université de Paris-VI-Pierre-et-Marie-Curie
Classification
Médias
Archimède
Hulton Archive/ Getty Images
Équations de la dynamique des fluides
Encyclopædia Universalis France
Turbulences en fonction du nombre de Reynolds
G. L. Brown, A. L. Roshko, California Institute of Technology, Pasadena, Californie
Autres références
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AÉRODYNAMIQUE
- Écrit par Bruno CHANETZ , Jean DÉLERY et Jean-Pierre VEUILLOT
- 7 226 mots
- 7 médias
Les équations dites de Navier-Stokes 'constituent le principal modèle mathématique de l'aérodynamique « classique », c'est-à-dire limitée au régime continu pour lequel les échelles de longueur caractéristiques sont grandes par rapport au libre parcours moyen des molécules et à des niveaux d'énergie excluant... -
CAFFARELLI LUIS (1948- )
- Écrit par Bernard PIRE
- 1 254 mots
- 1 média
...mathématicien canado-américain Louis Nirenberg (1925-2020, Prix Abel 2015), professeur à l'institut Courant (New York), le domaine des équations régissant la dynamique des fluides. Ils étudient en particulier les équations de Navier-Stokes, introduites en 1822 par le physicien et ingénieur français Claude Louis... -
COANDA EFFET
- Écrit par Bertrand DREYFUS
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Étrange phénomène de la mécanique des fluides, découvert par hasard, à la suite d'un contretemps, au cours d'une expérience d'aéronautique, par l'ingénieur aérodynamicien roumain Henri Coanda (1886-1972), qui lui donna son nom.
L'effet Coanda se présente de la manière...
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DÉRIVÉES PARTIELLES (ÉQUATIONS AUX) - Équations non linéaires
- Écrit par Claude BARDOS
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Pour comprendre la difficulté du problème, on peut considérer un modèle « abstrait » qui décrit la distribution des vitesses d'un fluide monodimensionnel sans force extérieure. Le mouvement des particules est donné par l'équation différentielle ordinaire :et la relation fondamentale...
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