MÉCANIQUE Mécanique analytique
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La mécanique analytique représente une approche de la mécanique rationnelle qui s'est développée, à partir des travaux de Maupertuis (1744), dans un certain isolement par rapport aux autres branches de la mécanique et de la physique. Le point de départ en est le « principe de moindre action », qui permet de déterminer le mouvement d'un point matériel dans un champ de forces. Si on considère le mouvement le long d'un arc de trajectoire AB et que l'on évalue l'intégrale curviligne :
(action de Maupertuis), on peut montrer que cette quantité est minimale par rapport à tous les mouvements voisins passant par A et B aux mêmes instants et possédant la même énergie que le mouvement réel. Réciproquement, cette condition d'action minimale permet de déterminer univoquement le mouvement. Elle est donc équivalente à la loi de Newton :
Formalisme lagrangien
Principe des travaux virtuels
On s'intéresse ici à l'étude d'un système dynamiqueclassique, c'est-à-dire d'un assemblage de k points matériels qui peuvent être soumis à des liaisons (exemples : certains points peuvent être astreints à se mouvoir sur une courbe ou une surface donnée ; deux points peuvent être liés de sorte que leur distance reste constante ; etc.).
On numérote les points par un indice j, avec j = 1, 2, ..., k, et l'on désigne par rj la position géométrique du point numéro j, par mj sa masse, par Fj la résultante des forces que l'on exerce sur lui. Les mécanismes assurant les liaisons peuvent exercer par ailleurs une force supplémentaire fj, appelée « force de liaison » ou force « de contact » (exemple : si un point matériel est lié par un fil inextensible à un point fixe, la liaison lui impose de rester sur une sphère ; la force de liaison est mesurée par la tension du fil). Le mouvement du système est alors déterminé par la loi de Newton :
Imaginons, pour chaque point rj, un « déplacement virtuel » infinitésimal δrj, compatible avec les liaisons telles qu'elles existent à l'instant t (exemple : si rj est astreint à se déplacer sur une sphère, δrj est un vecteur quelconque tangent à la sphère) ; il résulte évidemment des équations (1) que l'on a :
(les crochets <,> désignent le produit scalaire ordinaire).
Réciproquement, le système (1) est vérifié si l'égalité (2) est valable quels que soient les déplacements virtuels δrj compatibles avec les liaisons : tel est le résultat découvert par d'Alembert (Traité de dynamique, 1743), que l'on appelle principe des travaux virtuels (parce que le terme écrit à droite de (2) est le travail des forces dans le « déplacement virtuel » défini par les δrj).
Dans le cas où les liaisons sont parfaites (exemples : glissements sans frottement ; liaisons des points à l'intérieur d'un[...]
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Écrit par
- Francis HALBWACHS : docteur ès sciences physiques, professeur à l'université de Provence
- Jean-Marie SOURIAU : directeur du Centre de physique théorique de Marseille (C.N.R.S.)
Classification
Média
Espace d'évolution
Encyclopædia Universalis France
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