MÉCANIQUE Mécanique analytique
Formalisme canonique
Formalisme hamiltonien
Récapitulons les calculs qui interviennent lorsqu'on applique les équations de Lagrange à un système répondant aux conditions précédentes.
– On considère les variables qk, .qk et t comme indépendantes, et on écrit la fonction lagrangienne :
– On calcule les dérivées partielles :
– On résout les équations différentielles :
(On reconnaît les équations de Lagrange (14) et la définition initiale des variables .qk.)
Si on développe le système (22), on constate qu'il se compose de n équations dans lesquelles les variables .qk interviennent linéairement, et que le déterminant des coefficients n'est pas nul (cela résulte du fait que l'énergie cinétique est une forme quadratique définie positive) ; on peut donc résoudre ces équations par rapport aux .qk ; ce que nous noterons :
Introduisons maintenant une nouvelle grandeur, le hamiltonien du système, qui est par définition la quantité :
En remplaçant dans cette relation Q. par son expression (24), on exprime évidemment H en fonction de P, Q et t :
Donnons une variation arbitraire δ aux variables P et Q ; la dérivation de (25) donne évidemment :
En comparant avec les résultats de la dérivation directe de (26), on trouve donc les identités :
En utilisant ces identités, les équations du mouvement (23) se transforment immédiatement en :
Telles sont les équations de Hamilton (1834), appelées aussi équations canoniques ; elles montrent qu'il suffit de connaître la fonction hamiltonienne pour déterminer les équations du mouvement. On les interprète souvent en considérant que les « variables canoniques » pk et qk sont les coordonnées d'un point qui se meut dans un espace à 2 n dimensions, appelé espace de phase.
Formalisme symplectique
Désignons par Y une condition initiale quelconque du système : pour déterminer Y, il faut se donner une date t, ainsi que la position et la vitesse de tous les points du système à cette date.
Espace d'évolution
Encyclopædia Universalis France
Nous avons remarqué que l'on connaît ces positions et ces vitesses si l'on connaît les valeurs des variables qk et .qk à cet instant t ; par conséquent, une condition initiale Y est repérée par les 2 n + 1 variables qk, .qk et t (ou, si l'on préfère, par les 2 n + 1 variables pk, qk, t ). On peut donc représenter Y comme un point d'un espace V à 2 n + 1 dimensions, l'espace d'évolution .
Lorsque le système évolue spontanément, le point Y décrit une courbe tracée dans V, courbe qui définit le mouvement du système ; il résulte de la théorie des systèmes différentiels qu'une condition initiale caractérise le mouvement, c'est-à-dire que ces courbes sont disposées dans V de façon qu'il en passe une et une seule par chaque point Y de V.
On peut donc définir un mouvement par les 2 n valeurs des coordonnées canoniques à une date t0 arbitrairement choisie ; en d'autres termes, chaque mouvement x peut être considéré comme un point d'un espace U à 2 n dimensions, l'espace des mouvements. Par exemple, le mouvement d'une planète (n = 3) se repère par 6 nombres (les éléments de l'orbite).
Un mouvement déterminé sera donc considéré :
a) comme une ligne (trajectoire) décrite par le point Q dans l'espace de configuration à n dimensions (le temps jouant le rôle de paramètre) ;
b) comme une ligne décrite par le point (Q, P) dans l'espace des phases à 2 n dimensions (le temps jouant le rôle de paramètre) ;
c) comme une ligne atemporelle dans l'espace d'évolution à 2 n + 1 dimensions ;
d) comme un point atemporel dans l'espace des mouvements à 2 n dimensions.
Considérons deux variations quelconques du mouvement,[...]
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Écrit par
- Francis HALBWACHS : docteur ès sciences physiques, professeur à l'université de Provence
- Jean-Marie SOURIAU : directeur du Centre de physique théorique de Marseille (C.N.R.S.)
Classification
Média
Espace d'évolution
Encyclopædia Universalis France
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