MÉCANIQUE Mécanique analytique
Applications
Mécanique relativiste
Les résultats précédents peuvent s'étendre à d'autres problèmes ayant une structure analogue (principes variationnels portant sur des intégrales simples). Traitons le cas de la mécanique relativiste.
En relativité restreinte, on remplace l'intégrale d'action (16) par l'expression :
c étant la vitesse de la lumière (cas d'une particule libre de masse m) ou, en prenant le temps t comme paramètre :
Les équations de Lagrange montrent que le mouvement est encore rectiligne uniforme (avec une vitesse v inférieure à c) ; le théorème de Noether s'applique encore ; dans le cas des translations de temps, il permet de définir l'énergie relativiste E ; elle est encore égale au hamiltonien ; en partant du nouveau lagrangien − mc2 √1 − r2./c2, la formule (25) donne :
Le même traitement appliqué aux translations d'espace donne l'impulsion relativiste :
En relativité générale, on utilise des systèmes de quatre coordonnées quelconques x1, x2, x3, x4 ; l'action s'écrit :
On peut écrire les équations de Lagrange ; elles se mettent sous la forme :
s étant un certain paramètre (temps propre), les nombre Γλμν (appelés symboles de Christoffel) étant donnés par :
Quand les coordonnées sont reliées à un laboratoire en chute libre (satellite en orbite), les Γλμν sont tous nuls ; la formule (41) montre que le mouvement apparaît comme rectiligne uniforme (état d'impesanteur) ; par contre, dans un laboratoire quelconque (terrestre par exemple) le mouvement semble accéléré : il apparaît un champ de gravitation, mesuré par les Γλμν. La formule (42) montre que les Γλμν s'expriment au moyen des dérivées des gμν : c'est pourquoi les nombres gμν s'appellent potentiels de gravitation.
Mécanique statistique
L'objet de la mécanique statistique est l'étude des mouvements aléatoires d'un système mécanique conservatif (exemple : un gaz, considéré comme un système de molécules enfermées dans un récipient).
La probabilité, à un instant t, pour que les coordonnées canoniques pk, qk soient dans une certaine région E de l'espace des phases peut s'écrire :
En utilisant les équations canoniques (28), on peut démontrer que le « volume » de E,
On voit donc qu'un état statistique est une loi de probabilité sur l'espace des mouvements, la probabilité élémentaire étant égale à ρdω.
On constate, dans le cas d'un équilibre statistique, que la densité de probabilité est de la forme :
T étant la température absolue, k la constante de Boltzmann ; μ (appelé potentiel thermodynamique de Planck) se calcule en écrivant que l'intégrale ∫ρdω, étendue à l'espace des mouvements, prend la valeur 1. Signalons que l'intégrale :
Mécanique quantique
Dès les origines (Bohr, 1918), il est apparu que le formalisme canonique était la clef de la formulation de la mécanique[...]
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Écrit par
- Francis HALBWACHS : docteur ès sciences physiques, professeur à l'université de Provence
- Jean-Marie SOURIAU : directeur du Centre de physique théorique de Marseille (C.N.R.S.)
Classification
Média
Espace d'évolution
Encyclopædia Universalis France
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