STATISTIQUE MÉCANIQUE
Exemples de systèmes en équilibre
Le formalisme qui a été développé dans la partie précédente est utilisé dans de très nombreux domaines de la physique. En général, l'application du formalisme conduit à des problèmes très difficiles. Ici, on se contentera de citer quelques cas simples.
Gaz
L'application de la mécanique statistique aux gaz est décrite dans cet ouvrage (cf. état gazeux). On notera seulement ici que, à partir de la température T définie en mécanique statistique par (6) et (7), on trouve pour l'équation d'état d'un gaz parfait composé de N molécules la loi bien connue :
La température qui a été définie ici coïncide donc bien avec la température absolue de l'échelle des gaz parfaits.
Lorsque la longueur d'onde thermique associée aux particules de masse m d'un système, λ = h/√2πmkT, n'est pas négligeable devant la distance moyenne entre particules, il faut tenir compte des effets quantiques.
Statistique de Fermi-Dirac
Si les particules sont des fermions (c'est-à-dire des particules à spin demi-entier ; cf. particules élémentaires) identiques (par exemple, des électrons ou des nucléons), le principe de Pauli s'applique (cf. atome, chap. 2). Lorsque les interactions sont négligeables, on peut définir des états quantiques à une particule, et le principe de Pauli dit alors qu'il ne peut y avoir que zéro ou une particule dans chacun de ces états quantiques α. On montre que le nombre moyen de particules dans l'état α d'énergie εα est :
Statistique de Fermi-Dirac
Encyclopædia Universalis France
Nα est compris entre 0 et 1, et décroît lorsque l'énergie εα croît. Si la température T tend vers zéro, la fonction Nα(T) se réduit à une « marche d'escalier » : tous les états quantiques dont l'énergie est inférieure à l'énergie de Fermi εF sont pleins (Nα = 1), tous les autres sont vides (Nα = 0).
La statistique de Fermi-Dirac s'applique par exemple aux électrons d'un métal.
Statistique de Bose-Einstein
On suppose encore que les interactions sont négligeables. Si les particules sont des bosons (c'est-à-dire des particules à spin entier ou nul) identiques, il peut maintenant y avoir un nombre quelconque de particules dans chacun des états quantiques α. On montre que le nombre moyen de particules dans l'état α est maintenant :
Pour des bosons libres, un état α est caractérisé par sa quantité de mouvement p, et on a εα = p2/2 m. Le nombre Nα est d'autant plus grand que la quantité de mouvement p de l'état α est plus faible. On montre que, si la température T est inférieure à une « température critique » Tc telle que :
Cette réunion d'un nombre macroscopique de bosons dans un même état quantique s'appelle la condensation de Bose-Einstein. Cette condensation constitue un exemple simple de transition de phase : les fonctions thermodynamiques du système ont une singularité mathématique à la température Tc. La condensation de Bose-Einstein est un modèle mathématique qui n'est pas réalisé tel quel dans la nature, où les interactions entre particules ne sont pas négligeables ; cependant, la transition de phase de l'hélium liquide à 2,18 K vers un état superfluide peut être considéré comme une condensation de Bose-Einstein des atomes d'hélium (qui sont des bosons) modifiée par l'existence d'interactions entre ces atomes.
La statistique de Bose-Einstein permet d'expliquer les propriétés du rayonnement du corps noir. On appelle ainsi le rayonnement électromagnétique qui existe à l'équilibre thermique à l'intérieur d'une enceinte de température T. Ce rayonnement est composé[...]
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Écrit par
- Berni J. ALDER : Professeur à l'université de Californie.
- Bernard JANCOVICI : Professeur à l'université de Paris-XI, Orsay.
Classification
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Ludwig Boltzmann
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Autres références
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BOLTZMANN LUDWIG (1844-1906)
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