MESURE Méthodologie
Exploitation des mesures entachées d'erreurs fortuites
L'exploitation des mesures entachées d'erreurs fortuites est le problème posé par des séries importantes d'observations portant sur une grandeur x, compte tenu du fait que les erreurs systématiques supposées connues ont été éliminées. Il ne reste donc que des erreurs qu'on peut qualifier d'accidentelles, ou aléatoires, présentant une dispersion régie par les lois du hasard, et sur lesquelles on ne fait pour le moment aucune hypothèse.
Pour le dépouillement des résultats, il faudra donc trouver la loi de probabilité ainsi que la méthode permettant de chiffrer l'erreur probable. Un exemple classique fort connu est concrétisé par la dispersion des points d'impact des balles autour d'une cible ponctuelle. Les balles qui font mouche sont aussi rares que celles qui arrivent trop loin de la cible. On dit que les très petits écarts comme les très grands sont peu probables.
Le problème des erreurs aléatoires est similaire. Une erreur nulle est peu probable, comme d'ailleurs une erreur trop forte. Ces erreurs sont tantôt négatives, tantôt positives, et encadrent la valeur zéro. La qualité des mesures sera caractérisée par une moyenne convenablement dosée des écarts.
L'expérience et des considérations théoriques montrent que si x1, x2, x3, ..., xn sont les résultats d'un nombre important n d'observations (quelques dizaines au moins) portant sur une grandeur aléatoire x, ici erreur fortuite, la probabilité pour qu'un résultat soit compris entre x et x + dx est de la forme :
La loi de Laplace-Gauss, qu'on appelle à tort ou à raison normale, prévoit une répartition symétrique des écarts xk — m autour de la valeur moyenne m, ce qui se traduit également par :
Courbe de Laplace-Gauss
Encyclopædia Universalis France
On calcule la valeur moyenne du module de l'écart
σ porte le nom d'écart type, et son inverse caractérise la précision.
Pour une série peu importante, la dispersion est assez discontinue. On définit le carré moyen des écarts appelé la variance :
V se confond avec l'écart type pour un grand nombre d'essais. Une correction due à Bessel conduit à une valeur plus probable de l'écart type :
L'erreur quadratique probable (racine carrée de la moyenne des carrés des écarts), sur la moyenne arithmétique, est :
En d'autres termes, pour une série de cent mesures, elle est environ, √100 soit dix fois plus faible que pour une mesure unique.
Pour une série importante, la probabilité pour que l'écart ε = x — m soit compris entre — E et + E est donnée par la fonction d'erreur :
Mesures : probabilités de confiance
Encyclopædia Universalis France
La probabilité d'un certain écart p de dépassement ainsi que la probabilité de confiance 1 — p sont données dans le tableau pour quelques valeurs simples de l'écart
Si l'on s'impose un écart probable de 3 σ, il n'y a qu'une chance sur 400 pour que l'erreur lui soit supérieure. On s'entoure ainsi d'une marge de sécurité.
L'écart ε a une probabilité caractérisée par l'exponentielle exp(— ε2/2σ2). De même, dans le cas de deux expériences successives, la probabilité des écarts ε1 et ε2 supposés indépendants (loi élémentaire des probabilités dites composées) est le produit des probabilités où apparaît en exposant la somme — (ε21 + ε22). Le couple (ε1, ε2) est d'autant plus probable que l'exponentielle a une valeur plus forte, d'où ε21 + ε22 aussi faible que possible. Dans le cas d'une série ε1, ε2, ε3, ..., la somme des carrés des écarts est minimale, ce qui définit la méthode des moindres carrés dans[...]
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Écrit par
- Georges NEY : ingénieur de l'École supérieure d'électricité
Classification
Médias
Méthode d'opposition
Encyclopædia Universalis France
Échantillonnage d'un signal
Encyclopædia Universalis France
Courbe de Laplace-Gauss
Encyclopædia Universalis France
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