MODÉLISATION, mathématique

La notion de modèle en mathématiques se présente sous un double aspect : d'une part, les mathématiques permettent de modéliser, c'est-à-dire de représenter, toutes sortes de situations, d'objets et de structures du monde réel, l'étude mathématique ou les simulations informatiques de ces représentations nous informant – lorsque les représentations sont bonnes – sur le monde réel ; d'autre part, une notion précise et formelle de modèle est définie et étudiée en logique mathématique par la théorie des modèles, ce qui établit un lien précis entre objets syntaxiques (les formules) et structures mathématiques, puis produit sous la forme de théorèmes toutes sortes d'informations sur la nature de ce lien, le tout constituant une théorie abstraite de l'activité de modélisation au sens précédent.

Modélisation de situations du monde réel

Utiliser les mathématiques pour modéliser le monde ou certains de ses aspects particuliers est évidemment au cœur même de l'activité du mathématicien appliqué. Le mot « modèle » est alors pris dans le sens de représentation : les objets mathématiques jouent le rôle des objets réels, et de leur connaissance on espère tirer une compréhension du monde réel lui-même. Lorsque la modélisation est correcte, l'étude du modèle mathématique donne des informations sur la situation, l'objet ou les structures que vise le modèle. Ces informations peuvent provenir de l'étude mathématique du modèle, ou bien de son utilisation pour mettre au point des programmes informatiques qui, lorsqu'ils fonctionnent, simulent la situation, l'objet ou la structure modélisée. On peut ainsi modéliser le monde physique par un espace euclidien de dimension trois (ou quatre pour prendre en compte le temps) ; on peut ensuite modéliser un satellite tournant autour de la Terre par un point dont les coordonnées varient continûment en fonction du temps, etc.

Un exemple provenant de la théorie des jeux nous éclairera sur certaines possibilités et difficultés : le modèle des jeux itérés. Une confrontation entre deux entités (deux organismes vivants en compétition sur un même territoire, deux pays commerçant l'un avec l'autre, deux personnes se rencontrant dans le monde social) peut être vue comme une série de coups joués à intervalles réguliers et rapportant à chacune des entités des points destinés à comptabiliser les avantages que les entités tirent de leurs rencontres successives. Dans le cas le plus simple, chaque entité aura, à chaque coup, le choix entre deux possibilités de jeu, c1 ou c2. On pourra convenir (c'est ce qu'on appelle le modèle du dilemme des prisonniers) que : si les deux entités A et B choisissent de jouer c1, chacune emporte 3 points ; si l'une choisit c1 et l'autre c2, celle qui a joué c1 gagne 0 point et celle qui a joué c2 emporte 5 points ; enfin, si les deux entités ont joué c2, elles gagnent 1 point chacune. Une confrontation entre deux entités est alors une suite de coups numérotés de 0 à k (un entier positif), chacun rapportant des points conformément aux conventions fixées. Dans le modèle standard largement étudié, les entités choisissent ce qu'elles jouent en tenant compte des coups passés et en utilisant une méthode (appelée stratégie) qui est fixée une fois pour toutes pour chacune et qui définit l'identité de l'entité modélisée. Par exemple, la stratégie « donnant-donnant » joue c1 au premier coup (lorsqu'elle ne dispose d'aucune information sur son adversaire), puis joue au coup n ce qu'a joué son adversaire au coup n – 1 (cette méthode de jeu se révèle assez payante). La stratégie « lunatique » joue alternativement c1 et c2 en commençant par c1. Lorsque donnant-donnant rencontre lunatique, les coups joués sont c1-c1, puis c1-c2, puis c2-c1 (donnant-donnant[...]