NOMBRES COMPLEXES

Construction

Par définition, un nombre complexe sera un couple z = (x, y) de deux nombres réels ; si z = (x, y) et z′ = (x′, y′) sont deux nombres complexes, on appelle alors somme et produit de ces deux nombres complexes les nombres complexes :

Il est alors facile de vérifier que, pour ces deux opérations, l'ensemble des couples de nombres réels est un corps, le corps C des nombres complexes ; par exemple, si z = (x, y) ≠ (0, 0), son inverse est le nombre complexe :

aussi noté 1/z.

Il est aussi souvent commode de représenter géométriquement le nombre complexe z = (x, y) par le point M de coordonnées (x, y) dans le plan muni d'un système d'axes de coordonnées orthonormé ; M s'appelle l'image de z et il est clair que tout point M du plan est l'image d'un unique nombre complexe appelé affixe de M.

Les nombres complexes de la forme (x, 0) forment un sous-corps de C qui est isomorphe au corps R des nombres réels par l'application qui à (x, 0) fait correspondre x ; dans la suite, nous identifierons donc le nombre complexe (x, 0) au nombre réel x, ce qui fait apparaître R comme un sous-corps de C. Parmi les nombres complexes, les nombres réels ont donc pour images les points de l'axe Ox, appelé pour cette raison axe réel ; remarquons que si a est un nombre réel, le produit de a et du nombre complexe z = (x, y) est simplement az = (ax, ay).

Le nombre complexe i = (0,1) vérifie i² = − 1, et tout nombre complexe z = (x, y) peut s'écrire de manière unique z = x + iy, pour x et y réels ; nous adoptons désormais cette écriture, dite cartésienne, pour tout nombre complexe. Les nombres réels x et y s'appellent respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de z et on note :

Les nombres complexes écrits sous forme cartésienne satisfont aux règles usuelles du calcul élémentaire, en tenant compte du fait que i² = − 1 ; par exemple :

ce qui redonne la formule ci-dessus du produit. Les nombres complexes non nuls de la forme iy, y ∈ R, ont pour carré le nombre réel négatif − y² ; pour cette raison, ils sont dits imaginaires purs et l'axe Oy est appelé l'axe imaginaire.

On appelle conjugué du nombre complexe z = x + iy le nombre complexe z̄ = x – iy ; l'application de conjugaison, qui à tout nombre complexe fait correspondre son conjugué, est un automorphisme involutif du corps C, c'est-à-dire que l'on a :

il en résulte par exemple que si z ≠ 0, alors z̄ ≠ 0 et 1/z = 1/z̄.

Pour tout nombre complexe z, le produit N (z) = zz̄ = x² + y² est un nombre réel positif ; c'est le carré de la distance de l'image de z à l'origine des coordonnées. On appelle module de z le nombre réel positif :

le module des nombres complexes possède les mêmes propriétés que la valeur absolue des nombres réels : |z| = 0 si et seulement si z = 0 ;

Remarquons que l'inverse d'un nombre complexe non nul est égal à 1/z = z̄/|z|² ; en particulier, les nombres complexes de module 1, sur lesquels nous reviendrons, ont pour inverse leur conjugué.

Le théorème fondamental de l'algèbre

Les nombres complexes sont donc apparus très tôt comme le domaine naturel de la théorie des équations algébriques : toute équation algébrique peut être résolue dans ce corps. Plus précisément, le résultat fondamental est le suivant. Si P est un polynôme de degré n à coefficients complexes, il existe n nombres complexes a₁, a₂, ..., a_n, pas nécessairement distincts, tels que l'on ait identiquement :

où λ est le coefficient du terme de plus haut degré. Ainsi, si l'on appelle ordre de multiplicité d'une racine le nombre de fois où elle apparaît dans la décomposition ci-dessus, tout polynôme de[...]