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NOMBRES COMPLEXES

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Forme trigonométrique

Trigonométrie

Les nombres complexes de module 1 peuvent être caractérisés comme les nombres complexes ≠ 0 dont le conjugué et l'inverse sont égaux ; on vérifie facilement qu'ils forment un groupe multiplicatif que nous désignerons par U. Les images des éléments de U sont les points du cercle de centre O et de rayon 1 (appelé souvent « cercle trigonométrique ») ; l'application qui au nombre complexe u ∈ U, d'image M, fait correspondre l'angle A(u) du demi-axe réel positif avec la demi-droite OM est un isomorphisme du groupe multiplicatif U sur le groupe additif des angles orientés de demi-droites et pourrait d'ailleurs servir à donner une définition rigoureuse de ces angles. L'étude du groupe U constitue ce qu'on appelle traditionnellement la trigonométrie ; l'outil pour définir de façon correcte les fonctions trigonométriques est la fonction exponentielle complexe.

Pour tout nombre réel t, le nombre complexe eit appartient à U. En effet, on voit facilement sur le développement en série de ez que le conjugué de ez est ez̄ pour tout nombre complexe z ; on a donc, en utilisant aussi (*),

la formule (*) montre aussi que l'on a :
ce qui exprime que l'application qui au nombre réel t associe le nombre complexe eit ∈ U est un homomorphisme du groupe additif R sur le groupe multiplicatif U.

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Par définition, on appelle cos t et sin t respectivement les parties réelle et imaginaire de eit, soit :

puisque |eit| = 1, on a cos2t + sin2t = 1 pour tout nombre réel t.

L'étude de eit montre alors qu'il existe un nombre réel π > 0 tel que eiπ/2 = i et tel que l'application qui à t associe eit soit une bijection de l'intervalle [0, 2 π[ sur U. Puisque, d'après (*) :

on en déduit, toujours d'après (*), que la fonction eit est périodique de période 2 π. Ainsi, tout nombre complexe u de module 1 s'écrit sous la forme :
où t est un nombre réel déterminé à 2 kπ près, k entier relatif ; cela revient à dire que si x et y sont deux nombres réels tels que x2 + y2 = 1, il existe un nombre réel t, défini à 2 kπ près, tel que x = cos t et y = sin t. La propriété (**) montre, d'autre part, que si t et t′ sont deux nombres réels, on a :
ce qui, en égalant les parties réelles et imaginaires des deux membres, donne les formules trigonométriques d'addition des arguments. On déduit facilement de ce qui précède la formule de De Moivre, valable pour tout entier relatif n,
qui permet d'obtenir de nombreuses formules de trigonométrie.

Forme trigonométrique

Nous désignerons par C* le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls. Si z ≠ 0, le nombre complexe z/ |z| est de module 1 et on voit facilement que l'application qui à tout nombre complexe z ≠ 0 associe le couple (|z|, z/|z|) est une bijection de C* sur l'ensemble R*+ × U des couples (r, u) d'un nombre réel r > 0 et d'un élément u ∈ U ; la bijection réciproque associe à un tel couple (r, u) le nombre complexe ru, de module r. L'étude de U faite ci-dessus permet donc d'écrire tout nombre complexe z ≠ 0 sous la forme :

appelée forme trigonométrique du nombre complexe z. On dit qu'une telle valeur de t est un argument de z ; quand on connaît une valeur de l'argument, on obtient donc toutes les autres en lui ajoutant un multiple entier relatif de 2 π et deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont le même module et des arguments qui diffèrent de 2 kπ, k entier relatif. Si on impose à l'argument d'appartenir à l'intervalle ]− π, + π], il est déterminé de manière unique et s'appelle l'argument principal.

Racines n-ièmes

Racines 6<sup>es</sup> de 1 - crédits : Encyclopædia Universalis France

Racines 6es de 1

Encyclopædia Universalis France

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La recherche des nombres complexes z tels que zn = 1 va montrer l'intérêt de la forme trigonométrique. Écrivant z sous forme trigonométrique :

on doit avoir :
les nombres zn et 1 sont égaux s'ils ont le même module, soit rn = 1, d'où r = 1, et s'ils ont des arguments qui diffèrent d'un multiple entier de 2 π, soit nt = 2 kπ, avec k entier relatif, en prenant 0 pour argument de 1. On peut donc écrire t = 2 kπ/n ; si on se limite aux valeurs de t appartenant à l'intervalle [0, 2π], il suffit de donner à k les n valeurs successives 0, 1, 2, ..., n −1, car toute autre valeur de k donne des valeurs correspondantes de t égales, à un multiple de 2 π près, aux valeurs de t obtenues pour ces nombres. On obtient ainsi n nombres complexes de module 1 distincts :
où k = 0, 1, 2, ..., n − 1 ; ces nombres complexes sont les n racines du polynôme zn − 1 et leurs images sont les sommets d'un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique.

Un raisonnement analogue montrerait que tout nombre complexe non nul a n racines n-ièmes distinctes ; si c est l'une d'entre elles, ces racines sont :

où les zk sont les racines n-ièmes de 1.

— Jean-Luc VERLEY

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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Théorie géométrique - crédits : Encyclopædia Universalis France

Théorie géométrique

Encyclopædia Universalis France

Racines 6<sup>es</sup> de 1 - crédits : Encyclopædia Universalis France

Racines 6es de 1

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Autres références

  • CONSTRUCTION, mathématique

    • Écrit par
    • 1 392 mots

    Pendant des millénaires les objets mathématiques ont été considérés comme ayant une existence propre. Depuis la fin du xixe siècle et surtout le début du xxe, on a mis au point une méthodeaxiomatique consistant à tout reprendre afin de donner une base solide à la mathématique à partir...

  • CORPS, mathématiques

    • Écrit par et
    • 6 192 mots
    Le corps C desnombres complexes est un exemple bien classique de corps. Les sous-corps de C forment une vaste famille à laquelle appartiennent le corps Q des nombres rationnels (qui est le plus petit) et le corps R des nombres réels. Les corps de nombres algébriques (cf. théorie des nombres...

  • ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

    • Écrit par
    • 5 673 mots
    ...négatives, sait en outre qu'elle en a trois. Pour lever la difficulté, il introduit timidement, et Bombelli le fera plus nettement en 1572, de nouveaux nombres dits « impossibles » ou « imaginaires ». Ainsi apparaît, pour la première fois, le corps C des nombres complexes (cf. nombres complexes).

  • GAUSS CARL FRIEDRICH (1777-1855)

    • Écrit par et
    • 4 886 mots
    ...fondant sur des considérations de topologie du plan. C'est seulement en 1831 qu'il se hasarda pour la première fois à donner explicitement une définition des nombres complexes par cette méthode ; cependant, dans ses papiers non publiés de son vivant, on constate que, dès le début du siècle, il maniait ces idées...
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Voir aussi

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