FRIEDMAN NOMBRES DE

Proposés et étudiés il y a quelques années par Erich Friedman, les « nombres de Friedman » sont les nombres entiers qui s'écrivent avec les chiffres qui les composent en combinant les cinq opérations arithmétiques : addition (+), soustraction (–), multiplication (×), division (/) et élévation à la puissance (x^y). En voici quatre exemples : 25 = 5² ; 289 = (8 + 9)² ; 37 668 = 6 × 73 × 86 ; 6 455 = (6⁴ – 5) × 5.

Le quatrième nombre de cette liste possède la propriété supplémentaire que les chiffres utilisés dans l'expression avec opérations le sont dans le même ordre que les chiffres du nombre lui-même.

Bien sûr, la définition dépend de la base de numération 10. On la généralise donc en considérant une base quelconque et l'on parle alors de « nombres de Friedman en base b ».

Voici la liste des 72 nombres de Friedman en base 10 inférieurs à 10 000 : 25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1 022, 1 024, 1 206, 1 255, 1 260, 1 285, 1 296, 1 395, 1 435, 1 503, 1 530, 1 792, 1 827, 2 048, 2 187, 2 349, 2 500, 2 501, 2 502, 2 503, 2 504, 2 505, 2 506, 2 507, 2 508, 2 509, 2 592, 2 737, 2 916, 3 125, 3 159, 3 281, 3 375, 3 378, 3 685, 3 784, 3 864, 3 972, 4 088, 4 096, 4 106, 4 167, 4 536, 4 624, 4 628, 5 120, 5 776, 5 832, 6 144, 6 145, 6 455, 6 880, 7 928, 8 092, 8 192, 9 025, 9 216, 9 261.

La recherche pour chacun de la formule qui justifie son appartenance à la liste est un jeu. On peut le pratiquer avec un crayon et un papier, ou en s'aidant d'un ordinateur pour lequel on aura écrit un programme. L'ordinateur devient inévitable si on souhaite contrôler que la liste est complète.

L'Américain Brendan Owen a démontré qu'il existe une infinité de nombres de Friedman et a même pu établir que les nombres de Friedman ne se raréfient pas, comme c'est le cas pour les nombres premiers dont la densité tend vers 0 quand on considère des entiers de plus en plus grands. La densité des nombres de Friedman, elle, est strictement positive. Une autre propriété intéressante des nombres de Friedman a été établie : pour toute suite finie de chiffres c₁ c₂ ... c_k il existe un nombre de Friedman qui commence par c₁ c₂ ... c_k. Un résultat semblable avait été démontré pour les nombres premiers en 1959 par le mathématicien polonais Waclau Sierpinski (1882-1969).

Pour l'instant on sait prouver que la densité limite des nombres de Friedman est supérieure ou égale à 0,000 011 196. Friedman pense qu'on peut faire mieux et il conjecture que la densité limite est 1, ce qui signifierait – comme c'est le cas pour les nombres composés – que plus un nombre est grand, plus il est probable qu'il soit un nombre de Friedman, la probabilité devenant 100 p. 100 à l'infini. Le travail reste à faire.

— Jean-Paul DELAHAYE