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NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques

Les mathématiciens grecs avaient découvert que certains rapports de grandeurs ne sont pas rationnels, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas égaux au rapport de deux entiers : il en est ainsi du rapport de la diagonale d'un carré à son côté, puisque aucun nombre rationnel n'a un carré égal à 2. Plus généralement, Théétète (ve s. avant J.-C.) a établi qu'un entier qui n'est pas le carré d'un entier n'est pas non plus le carré d'un nombre rationnel. Le dixième livre des Éléments d'Euclide est consacré à l'étude et à la classification des grandeurs irrationnelles rencontrées dans les constructions géométriques.

Les recherches sur les équations algébriques ont toujours été inséparables de problèmes touchant la nature des solutions de ces équations. Durant le xviiie siècle, il fut établi que les n racines d'une équation algébrique de degré n à coefficients réels étaient des nombres complexes (cf. nombres complexes). On appelle maintenant nombre algébrique tout nombre complexe qui est racine d'une équation algébrique à coefficients rationnels : ainsi √2, racine de l'équation x2 − 2 = 0, ou bien i, racine de l'équation x2 + 1 = 0, ou encore e2iπ/n, racine de xn − 1 = 0, sont des nombres algébriques ; au contraire e, π, log 2 ou ii ne sont pas des nombres algébriques (cf. nombres transcendants).

Équations diophantiennes

Les problèmes de théorie des nombres conduisant à résoudre des équations de degré ≥ 2 ont progressivement montré la nécessité d'étudier les propriétés arithmétiques des nombres algébriques et de bâtir ainsi une extension de l'arithmétique élémentaire. Le premier de ces problèmes est probablement celui qu' Euler a improprement attribué à Pell : il s'agit de résoudre en nombre entiers x et y l'équation x2 − Dy2 = ± 1, où D est un entier positif donné, sans facteur carré. Euler remarqua très tôt que cette équation peut encore s'écrire :

et que, par suite, si (x, y) en est une solution, on en tire une infinité d'autres (u, v) en calculant (x + y √D)n = u + v √D pour tout n ∈ N (cf. équations diophantiennes). L'équation x3 + y3 = z3 a fourni à Euler une autre occasion d'exploitation arithmétique de nombres irrationnels (imaginaires cette fois) ; pour établir que cette équation n'a pas de solution non triviale en nombres entiers (c'est un cas particulier du « dernier théorème de Fermat »), Euler (1770) se fonde sur le fait, admis sans démonstration, que, si p et q sont des entiers premiers entre eux tels que (p + q √− 3)(p − q √− 3) = p2 + 3q2 soit un cube, alors chacun des deux facteurs imaginaires p ± q √− 3 est le cube d'un nombre complexe de la même forme.

Périodes

Un autre type de nombres algébriques apparaît dans la dernière section des Disquisitiones arithmeticae de Gauss (1801 ; cf. c. f. gauss), où se trouve élaborée la théorie de l'équation de la division du cercle en n parties égales, avec n premier impair. Si r est l'une des racines imaginaires de cette équation, les autres sont r2, r3, ..., rn-1, et Gauss introduit certaines sommes partielles de ces racines, qu'il appelle périodes, et qui sont solutions d'équations de degrés inférieurs : si f est un facteur de n − 1 et si λ est un entier quelconque, la période ( f, λ) de longueur f est, par définition, la somme :

où h est un entier premier à n tel que hf ≡ 1 (mod n) mais que ha ≡/ 1 (modn) si 1 ≤ a ≤ f − 1 ; la période ne dépend pas du choix de h vérifiant ces propriétés, et on obtient un tel h en posant h = ge, où g est une racine primitive modulo n et e = (n − 1)/[...]

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Écrit par

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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