NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques

Les « nombres idéaux » de Kummer

Entiers cyclotomiques

Considérons, avec Kummer, un nombre premier impair λ et une racine λ-ième imaginaire α de 1 ; ainsi :

L'équation de degré λ − 1 précédente est irréductible sur le corps Q des nombres rationnels, donc les nombres 1, α, α², ..., α^λ-2 sont linéairement indépendants sur Q ; les entiers cyclotomiques correspondant à λ sont les nombres de la forme :

où a₀, a₁, ..., a_λ-2 ∈ Z, c'est-à-dire les éléments du sous- anneau Z[α] de C engendré par α. Il résulte des remarques précédentes que l'écriture d'un entier cyclotomique sous la forme f (α), polynôme en α de degré ≤ λ − 2 à coefficients entiers, est unique (il n'en serait pas de même avec des polynômes de degré ≤ λ − 1 qu'il est parfois utile d'introduire). L'anneau Z[α] des entiers cyclotomiques ne dépend pas du choix de α parmi les racines λ-ièmes imaginaires de 1, puisque toutes ces racines sont les puissances de l'une d'elles ; à l'entier cyclotomique f (α), on associe ses conjugués f (α²), f (α³), ..., f (α^λ-1) et sa norme Nf (α) = f (α) f (α²) ... f (α^λ-1), qui est un entier ordinaire car elle ne change pas lorsqu'on remplace α par une de ses puissances. Comme α^j et α^λ-^j sont complexes conjugués, f (α^j)f (α^λ-^j) est réel positif, et Nf (α) est donc un entier positif ; on vérifie facilement que la norme est multiplicative : N(f (α)g(α)) = Nf (α) ( Ng(α). On dit qu'un entier cyclotomique f (α) en divise un autre h(α) s'il existe un entier cyclotomique g(α) tel que h(α) = f (α)g(α) ; on dit que h₁(α) et h₂(α) sont congrus modulo f (α), et on écrit h₁(α) ≡ h₂(α) (mod f (α)), si h₁(α) − h₂(α) est divisible par f (α). Kummer appelle unités les entiers cyclotomiques dont la norme est 1, c'est-à-dire ceux qui divisent 1 ; par exemple les α^j sont des unités, de même que les quotients :

(avec 1 ≤ j ≤ λ − 1), car N(1 − α^j) = (1 − α^j)(1 − α²^j) ... (1 − α^(λ-1)^j) est la valeur, pour x = 1, du polynôme (x − α^j) ... (x − α^(λ-1)^j) = 1 + x + x² + ... + x^λ-1, ce qui donne N(1 − α^j) = λ indépendamment de j . Des calculs précédents, on titre aussi :

ainsi λ se décompose, dans l'anneau des entiers cyclotomiques, en le produit de (1 − α)^λ-1 par une unité.

On dit qu'un entier cyclotomique h(α) est premier s'il n'est pas une unité et s'il ne peut diviser un produit f (α)g(α) sans diviser l'un des facteurs f (α) ou g(α) ; si h(α) est premier, il en est de même de ses conjugués h(α^j) et des produits de ces conjugués par des unités. Par exemple, 1 − α est premier : en effet, si 1 − α divise un entier rationnel m, λ = N(1 − α) divise Nm = m^λ-1, c'est-à-dire que λ divise m (puisque λ est premier) et, inversement, les multiples de λ sont divisibles par 1 − α ; si 1 − α divise f (α)g(α), c'est-àdire f (α)g(α) ≡ 0 (mod (1 − α)), comme α ≡ 1 (mod (1 − α)), on a f (1)g(1) ≡ 0 (mod (1 − α)), donc f (1) ou g(1) est divisible par λ et, par suite, f (α) ≡ 0 ou g(α) ≡ 0 (mod (1 − α)). Soit h(α) un entier cyclotomique de norme λ ; le nombre premier cyclotomique 1 − α divise Nh(α), donc divise l'un de ses facteurs h(α^j) (1 ≤ j ≤ λ − 1), et, comme Nh(α^j) = Nh(α) = λ = N(1 − α), le quotient est une unité : h(α) est donc encore premier et c'est le produit d'un des conjugués de 1 − α par une unité.

Considérons maintenant un entier cyclotomique h(α) dont la norme soit un nombre premier q ≠ λ ; ainsi [...]

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Écrit par

Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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