NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques

Unités

Dans une série de courtes notes, Dirichlet (1841-1846) a étudié les unités dans des anneaux de nombres algébriques de la forme Z[θ], où θ vérifie une équation irréductible xⁿ + a₁x^n-1 + ... + a_n = 0 à coefficients a_i entiers rationnels ; si les racines de cette équation sont θ, θ₁, ..., θ_n-1, les conjugués d'un élément f (θ) de Z[θ] sont f (θ₁), ..., f (θ_n-1), et sa norme est le produit Nf (θ) = f (θ)f (θ₁) ... f (θ_n-1). Les unités de Z[θ] sont les éléments f (θ) de norme ± 1 (la norme est toujours un entier rationnel, mais elle peut être négative dans ce cas général) ; parmi les unités, les racines de 1 qui appartiennent à Z[θ] sont caractérisées par |f (θ)| = |f (θ₁)| = ... = |f (θ_n-1)| = 1. En effet, si f (θ) vérifie ces conditions, il en est de même de ses puissances f (θ)^k, k ∈ N, dont tous les conjugués restent donc bornés. Or l'ensemble des éléments de Z[θ] dont les conjugués sont tous majorés par une constante M est fini, car ces éléments sont les racines d'un nombre fini d'équations de degré n (leurs coefficients sont les fonctions symétriques élémentaires des conjugués, donc ce sont des entiers rationnels majorés en fonction de M et de n) ; il n'y a donc qu'un nombre fini de puissances f (θ)^k distinctes, et f (θ)^l = 1 pour l convenable. Les racines de l appartenant à Z[θ] forment un groupe fini cyclique pour la multiplication ; la finitude provient du résultat précédent, et le caractère cyclique du fait que, pour tout l, il y a au plus l solutions de l'équation x^l = l dans C, donc dans Z[θ] (cf. groupes (mathématiques) - Généralités). L'énoncé fondamental de Dirichlet est le suivant :

Théorème. Soit r₁ le nombre de racines réelles de l'équation en θ, et 2 r₂ le nombre de ses racines imaginaires (de sorte que r₁ + 2 r₂ = n). Il existe r = r₁ + r₂ − 1 unités fondamentales e₁(θ), e₂(θ), ..., e_r(θ) telles que toute unité s'écrive, d'une manière unique, sous la forme ωe₁(θ)^n₁e₂(θ)^n₂ ... e_r(θ)^n_r, où ω est une racine de 1 et où les exposants n_i appartiennent à Z.

Autrement dit, le groupe multiplicatif des unités est le produit du groupe des racines de 1 par un groupe isomorphe à Z^r.

On démontre le théorème en utilisant le plongement logarithmique ainsi défini : on indexe les racines de l'équation en θ de manière que θ₁, θ₂, ..., θ_r1 soient réelles et que θ_j+r2 soit complexe conjugué de θ_j pour r₁ + 1 ≤ j ≤ r₁ + r₂ ; on note alors Le(θ) le vecteur (ln|e(θ_i)|) de R^r₁+r₂ (1 ≤ i ≤ r₁ + r₂). Ainsi e(θ) ↦ Le(θ) est un homomorphisme du groupe des unités dans R^r₁+r₂, et son noyau est le sous-groupe formé des racines de 1 ; l'image est un sous-groupe de R^r₁+r₂, et on aura démontré le théorème en prouvant que cette image est un groupe libre de rang r. Or l'image de L est discrète, car si Le(θ) reste borné, tous les conjugués de e(θ) sont majorés en valeur absolue par une constante et e(θ) ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs ; on sait qu'un sous-groupe discret de R^s est libre de rang ≤ s (cf. atopologie-Topologie algébrique). En écrivant que la norme de e(θ) est ± 1, on voit de plus que l'image de L est contenue dans l'hyperplan d'équation :

ce qui majore son rang par r₁ + r₂ − 1 = r ; cet hyperplan se projette isomorphiquement sur R^r, et on note L̃ la composée de L avec la projection. Il reste à voir que l'image de L̃ est de rang r, c'est-à-dire que l'orthogonal de cette image dans le dual de R^r est 0 (cf. algèbre linéaire et multilinéaire) ; on obtient ce résultat grâce au théorème de Minkowski, qui permet de prouver l'existence d'un élément non nul f (θ) de Z[θ] vérifiant les inégalités |f (θ_i)| ≤ κ_i (1 ≤ i ≤ n), avec des nombres réels positifs κ₁, κ₂, ..., κ_n tels que κ_j+r2 = κ_j pour r₁ + 1 ≤ j ≤ r₁ + r₂ et que le produit κ₁ κ₂ ... κ_n soit assez grand. Si f (θ) = a₀ + a₁θ + ... + a_n-1θ^n-1, ces inégalités s'interprètent comme un système d'inégalités définies par des jauges de Minkowski sur l'espace R^r₁ × C^r₂ ≃ Rⁿ des vecteurs (a₀, a₁, ..., a_n-1) ; la matrice des jauges est (θ_i^j)_{1≤i≤n,0≤j≤n-1} , et la condition d'existence de f (θ) est que κ₁κ₂ ... κ_n soit plus grand que la valeur absolue |Δ| du déterminant de cette matrice. L'élément f (θ) ainsi obtenu est de norme f (θ₁)f (θ₂) ... f (θ_n) au moins 1 en valeur absolue (entier non nul), ce qui donne |f (θ_i)| ≥ κ_i/K pour i = 1, 2, ..., n, en posant K = κ₁κ₂ ... κ_n. Soit ϕ une forme linéaire non nulle sur R^r et x le vecteur de coordonnées (ln κ₁, ln κ₂, ..., ln κ_r) ; les inégalités obtenues donnent |ϕ(x) − ϕ(L̃(f (θ)))| ≤ ∥ϕ∥ln K (où ∥ϕ∥ est la somme des valeurs absolues des coefficients de ϕ). On prend M > ∥ϕ∥ ln K fixé, et, pour chaque entier h, on choisit κ₁, κ₂, ..., κ_r de manière que ϕ(x) = 2 Mh ; on peut alors trouver κ_r+1 assez petit pour que ∥ϕ∥ln (κ₁κ₂ ... κ_n) < M, et on a un élément f_h(θ) correspondant dans Z[θ] qui vérifie (2 h − 1)M < ϕ(L̃(f_h(θ))) < (2 h + 1)M, de sorte que la suite (ϕ ∘ L̃(f_h(θ)))_h est strictement croissante. Par ailleurs, les normes Nf_h(θ) restent majorées par K, donc f_h(θ) divise un entier rationnel de l'intervalle fini [1, K] ; on en déduit qu'il existe des indices h et l tels que f_l(θ) = e(θ)f_h(θ), où e(θ) est une unité, et alors ϕ(L̃(e(θ))) = ϕ(L̃(f (θ))) − ϕ(L̃(f_h(θ))) ≠ 0, comme on voulait.

Le groupe des unités n'est donc fini (et réduit aux racines de 1) que si r₁ = 1 et r₂ = 0, ce qui donne n = 1 et θ ∈ Z, ou bien si r₁ = 0 et r₂ = 1, ce qui donne n = 2 ; dans ce cas, on peut se ramener à θ =√− D, avec D entier rationnel positif non divisible par 4, ou bien à θ = (1 +√− D)/2, avec D ≡ 3 (mod 4). On a vu, par exemple, que le groupe des unités de Z[i]est d'ordre 4, tandis que celui de Z[j], j racine cubique de 1, est d'ordre 6 (théorie de Kummer pour λ = 3). Lorsque θ = √D, avec D entier rationnel positif sans facteur carré, on a r₁ = 2, r₂ = 0 et le groupe des unités est de rang r = 1 ; toute unité s'écrit ± (T + U√D)ⁿ, où n ∈ Z et où T + U√D est une unité fondamentale. Cela revient à dire que l' équation de Pell x² − Dy² = N(x + y √D) = ± 1 est résolue en posant x + y √D = ± (T + U√D)ⁿ, et on a donc démontré l'existence de solutions pour cette équation. Pour les entiers cyclotomiques, on a, avec les notations antérieures, r₁ = 0 et r₂ = (λ − 1)/2 = μ, donc le groupe des unités est de rang r = μ − 1, qui est ≥ 1 à partir de λ = 5 ; la difficulté de trouver des lois de réciprocité supérieures sur le modèle des lois pour les degrés 2, 3 et 4 est liée au caractère infini de ces groupes d'unités. Pour λ = 5, r = 1 et on peut prendre le nombre réel α + α⁴ comme unité fondamentale ; pour λ = 7, r = 2 et un système d'unités fondamentales (réelles) est donné par (α + α^-1, α³ + α^-3). Pour λ = 11, r = 4, et on a le système fondamental (α + α^-1, α² + α^-2, α⁴ + α^-4, α³ + α^-3). Dans le cas cyclotomique général, Kummer considère le sous-groupe du groupe des unités engendré par ± 1, α et les unités (1 − α^j)/(1 − α), en prenant j = γⁱ, γ racine primitive modulo λ et 1 ≤ i ≤ μ = (λ − 1)/2 ; ce sous-groupe a le même rang r = μ − 1 que le groupe des unités, et le quotient est donc d'ordre fini h₂. En s'inspirant du travail de Dirichlet sur le nombre de classes de formes quadratiques (cf. théorie des nombres -Théorie analytique des nombres), Kummer a donné une formule pour l'ordre h du groupe des classes de diviseurs des entiers cyclotomiques ; il se sert d'une fonction analogue à la fonction zêta (cf. fonction zêta) :

(où A parcourt l'ensemble des diviseurs et P celui des diviseurs premiers) et de son comportement pour s → 1, et obtient h = h₁h₂, où le facteur h₂, le plus difficile à calculer, a la signification ci-dessus ; le facteur h₁ est plus explicite :

avec P = |ϕ(β)ϕ(β³)ϕ(β⁵) ... ϕ(β^λ-2|, β racine primitive (λ − 1)-ième de 1, et ϕ polynôme défini par ϕ(x) = 1 + γ₁x + γ₂x² + ... + γ_λ-2x^λ-2, où γ est une racine primitive modulo λ et, pour chaque j, γ_j est le reste de la division de γ^j par λ. Kummer a calculé h₁ pour tous les λ < 100 ; la première valeur de λ donnant h₁≠ 1 est 23, pour lequel h₁ = 3. La croissance de h₁ est très rapide : il vaut 411 322 823 001 pour λ = 97 et est équivalent à λ^μ/2+1/2^μ-1π^μ pour λ → ∞ ; les nombres premiers irréguliers sont ceux pour lesquels h est divisible par λ, et cela équivaut à dire que h₁ est divisible par λ (Kummer a donné un critère simple à vérifier pour cette propriété, au moyen des nombres de Bernoulli).