NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres algébriques
Unités
Dans une série de courtes notes, Dirichlet (1841-1846) a étudié les unités dans des anneaux de nombres algébriques de la forme Z[θ], où θ vérifie une équation irréductible xn + a1xn-1 + ... + an = 0 à coefficients ai entiers rationnels ; si les racines de cette équation sont θ, θ1, ..., θn-1, les conjugués d'un élément f (θ) de Z[θ] sont f (θ1), ..., f (θn-1), et sa norme est le produit Nf (θ) = f (θ)f (θ1) ... f (θn-1). Les unités de Z[θ] sont les éléments f (θ) de norme ± 1 (la norme est toujours un entier rationnel, mais elle peut être négative dans ce cas général) ; parmi les unités, les racines de 1 qui appartiennent à Z[θ] sont caractérisées par |f (θ)| = |f (θ1)| = ... = |f (θn-1)| = 1. En effet, si f (θ) vérifie ces conditions, il en est de même de ses puissances f (θ)k, k ∈ N, dont tous les conjugués restent donc bornés. Or l'ensemble des éléments de Z[θ] dont les conjugués sont tous majorés par une constante M est fini, car ces éléments sont les racines d'un nombre fini d'équations de degré n (leurs coefficients sont les fonctions symétriques élémentaires des conjugués, donc ce sont des entiers rationnels majorés en fonction de M et de n) ; il n'y a donc qu'un nombre fini de puissances f (θ)k distinctes, et f (θ)l = 1 pour l convenable. Les racines de l appartenant à Z[θ] forment un groupe fini cyclique pour la multiplication ; la finitude provient du résultat précédent, et le caractère cyclique du fait que, pour tout l, il y a au plus l solutions de l'équation xl = l dans C, donc dans Z[θ] (cf. groupes (mathématiques) - Généralités). L'énoncé fondamental de Dirichlet est le suivant :
Théorème. Soit r1 le nombre de racines réelles de l'équation en θ, et 2 r2 le nombre de ses racines imaginaires (de sorte que r1 + 2 r2 = n). Il existe r = r1 + r2 − 1 unités fondamentales e1(θ), e2(θ), ..., er(θ) telles que toute unité s'écrive, d'une manière unique, sous la forme ωe1(θ)n1e2(θ)n2 ... er(θ)nr, où ω est une racine de 1 et où les exposants ni appartiennent à Z.
Autrement dit, le groupe multiplicatif des unités est le produit du groupe des racines de 1 par un groupe isomorphe à Zr.
On démontre le théorème en utilisant le plongement logarithmique ainsi défini : on indexe les racines de l'équation en θ de manière que θ1, θ2, ..., θr1 soient réelles et que θj+r2 soit complexe conjugué de θj pour r1 + 1 ≤ j ≤ r1 + r2 ; on note alors Le(θ) le vecteur (ln|e(θi)|) de Rr1+r2 (1 ≤ i ≤ r1 + r2). Ainsi e(θ) ↦ Le(θ) est un homomorphisme du groupe des unités dans Rr1+r2, et son noyau est le sous-groupe formé des racines de 1 ; l'image est un sous-groupe de Rr1+r2, et on aura démontré le théorème en prouvant que cette image est un groupe libre de rang r. Or l'image de L est discrète, car si Le(θ) reste borné, tous les conjugués de e(θ) sont majorés en valeur absolue par une constante et e(θ) ne peut prendre qu'un nombre fini de valeurs ; on sait qu'un sous-groupe discret de Rs est libre de rang ≤ s (cf. atopologie-Topologie algébrique). En écrivant que la norme de e(θ) est ± 1, on voit de plus que l'image de L est contenue dans l'hyperplan d'équation :
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
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