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NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

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On peut aborder l'étude d'un problème diophantien (cf. équations diophantiennes) en commençant par chercher les solutions modulo p, un nombre premier quelconque : on est alors devant un problème plus facile, car Z/pZ est un corps. Cette méthode ne donne qu'une information insuffisante pour le problème initial ; on la raffine en étudiant les équations modulo pm pour tous les entiers m ≥ 1. L'anneau Z/pmZ n'est pas un corps, mais ses propriétés arithmétiques sont beaucoup plus simples que celles de Z : c'est un anneau fini qui a un seul idéal premier (engendré par la classe de p) ; les autres idéaux sont les puissances de l'idéal premier.

Supposons maintenant qu'on connaisse une solution xm ∈ Z/pmZ du problème modulo pm ; pour tout k ≤ m, on en déduit une solution xk mod pk au moyen de l'application canonique évidente :

provenant de l'application identique de Z. Ces considérations nous conduisent à introduire les suites (xm) telles que xm ∈ Z/p Z pour tout m et xk = ϕkm(xm) pour k ≤ m. L'ensemble Zp de ces suites est ainsi une partie du produit :
et c'est même un sous-anneau pour la structure d'anneau produit (car les ϕkm sont des homomorphismes d'anneaux) ; on dit que c'est la limite projective des anneaux Z/pmZ. L'anneau Zp ainsi défini s'appelle l'anneau des entiers p-adiques ; la méthode d'approche d'un problème diophantien envisagée plus haut consiste à étudier d'abord le problème dans Zp. Dans cet article, on donne les principales propriétés arithmétiques de cet anneau.

Généralités

Le noyau de l'homomorphisme canonique Z → Zp est formé des entiers divisibles par toutes les puissances de p ; il est donc réduit à {0}, et l'homomorphisme considéré est injectif et permet d'identifier Z à un sous-anneau de Zp. La surjection canonique Z → Z/pnZ se décompose en l'injection de Z dans Zp suivie de la projection de Zp dans le facteur Z/pnZ ; on voit ainsi que cette dernière projection est surjective ; son noyau est l'ensemble des entiers p-adiques (xm) tels que xn = 0, ce qui donne xm = 0 pour m ≤ n et xm ∈ pnZ/pmZ pour m > n ; autrement dit, ce noyau est l'ensemble des entiers p-adiques multiples de pn. On obtient ainsi l'isomorphisme :

pour tout entier n ≥ 1.

Pour n = 1, cela montre que Zp/pZp est un corps, donc que l'idéal pZp engendré par p est maximal. Si un entier p-adique x = (xm) n'appartient pas à pZp, chacune de ses composantes xm est inversible dans le facteur correspondant Z/pmZ et (xm-1) est inverse de x dans Zp ; ainsi l'idéal maximal pZp est exactement l'ensemble des éléments non inversibles de Zp, et c'est donc le seul idéal maximal : l'anneau Zp est local et son corps résiduel est Zp/pZp ≃ Fp, corps à p éléments. Les puissances successives de l'idéal maximal forment une suite décroissante (pmZp) d'idéaux dont l'intersection est visiblement {0} ; le plus grand de ces idéaux est p0Zp = Zp. La multiplication par pn est injective dans Zp ; il suffit de le vérifier pour n = 1, et px = 0 équivaut à pxm = 0 dans Z/pmZ pour tout m, ce qui donne :

d'où xm-1 = 0. L'anneau Zp s'applique donc bijectivement sur l'idéal pnZp, et l'ensemble U = Zp − pZp de ses éléments inversibles s'applique bijectivement sur :
on voit ainsi que l'ensemble Zp − {0} est réunion disjointe des pnU (n ∈ N). Autrement dit, tout entier p-adique non nul x s'écrit d'une seule manière sous la forme pnu avec n ∈ N et u ∈ U entier p-adique inversible ; l'entier naturel n s'appelle la valuation p-adique de x et se note vp(x). Si x = pmu et y = pnv sont des entiers p-adiques non nuls, avec[...]

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Écrit par

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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