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NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques

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Équations p-adiques ; lemme de Hensel

Revenons aux considérations du début et étudions un système d'équations :

où α = 1, 2, ..., r et où les fα sont des polynômes à coefficients dans Zp ; on cherche les solutions (x1, x2, ..., xm) dans (Zp)m. Par réduction modulo pn, on en déduit un système d'équations fα,n = 0 dans Z/pnZ. Pour que le système étudié ait une solution dans (Zp)m, il faut et il suffit que pour tout n le système réduit mod pn ait une solution dans (Z/pnZ)m. En effet, une solution dans (Zp)m n'est autre qu'une suite de solutions mod pn pour tous les n, qui se correspondent par les applications canoniques ϕkn ; si Xn ⊂ (Z/pnZ)m désigne l'ensemble des solutions mod pn, on voit que l'image dans Xn de l'image X des solutions dans (Zp)m est :
qui est non vide si chaque Xq est non vide (intersection décroissante d'ensembles finis non vides ; en termes plus savants, on observe que X est limite projective des Xn et que la limite projective d'une suite d'ensembles finis non vides est non vide).

De la même manière, on prouve que l'existence d'une solution primitive dans (Zp)m équivaut à l'existence d'une solution primitive mod pn pour tout n ; un élément primitif de (Zp)m, ou de (Z/pnZ)m, est, par définition, un élément dont l'une des m coordonnées est inversible. Remarquons que l'existence d'une solution primitive dans (Zp)m équivaut encore à l'existence d'une solution différente de 0 dans (Qp)m ; on le voit en réduisant au même dénominateur.

Le résultat suivant donne une condition suffisante pour qu'un zéro mod pn d'un polynôme f ∈ Zp[X1, X2, ..., Xm]se relève en un zéro dans Zp. Soit x ∈ (Zp)m tel que f (x) ≡ 0 (mod pn) ; s'il existe un indice j tel que :

il existe un élément y ∈ (Zp)m tel que f (y) = 0 et y ≡ x (mod pn-k), où :

On construit y comme limite d'une suite (xq) d'éléments de (Zp)m vérifiant :

l'existence d'une telle suite résulte du lemme suivant.

Lemme. Soit f ∈ Zp[X] et x ∈ Zp tels que f (x) ≡ 0 (mod pn). Si :

il existe x′ ∈ Zp tel que :
où k = vp(f ′(x)).

Pour démontrer ce lemme, on cherche x′ sous la forme x′ = x + pn-kz et on utilise la formule de Taylor :

où t est un entier p-adique ; disons que f (x) est multiple de pn et que la valuation de f ′(x) est k, soit f (x) = pny et f ′(x) = pku avec y ∈ Zp et u ∈ U, donc :

Comme par hypothèse n − 2k ≥ 1, il suffit de choisir z tel que y + zu soit multiple de p, c'est-à-dire z ≡ − yu-1 (modp) ; alors f (x + pn-kz) est divisible par pn+1 et :

a pour valuation k.

Appliquons ce résultat dans le cas où n = 1 ; on a alors nécessairement k = 0 et on voit que, si ξ ∈ (Fp)m est un zéro du polynôme :

déduit de f par réduction modulo p, et si une au moins des dérivées partielles premières de f̄ ne s'annule pas en ξ (zéro « simple »), alors il existe un zéro de f dans (Zp)m qui relève ξ. Par exemple, si f est homogène de degré 2 (forme quadratique) et si son discriminant est inversible dans Zp, f̄ est une forme quadratique non dégénérée à coefficients dans Fp ; lorsque p ≠ 2 tout ξ ∈ (Fp)m − {0} tel que f̄ (ξ) = ā est une racine simple et se relève donc en un x ∈ (Zp)m tel que f (x) = a. Lorsque p = 2, on montre de même que, si x est un élément primitif de (Z2)m tel que f (x) ≡ a (mod 8), il existe y ∈ (Z2)m tel que f (y) = a et y ≡ x (mod 4). Pour m = 1, ces résultats permettent de déterminer les éléments inversibles de Zp qui sont les carrés ; lorsque p ≠ 2, ce sont les éléments de U dont la classe mod p est un carré dans Fp ; nous étudierons plus loin les carrés de [...]

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Écrit par

  • : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot

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