NOMBRES (THÉORIE DES) Nombres p-adiques
Structure du groupe multiplicatif Q*p
On sait que tout élément non nul de Qp s'écrit d'une seule manière sous la forme pnu avec n ∈ Z et u ∈ U, groupe des éléments inversibles de Zp ; cela donne immédiatement un isomorphisme Qp* ≃ Z × U. Il reste à étudier la structure du groupe U ; on définit une filtration décroissante (Un) de U en posant pour tout n > 0 :
De ces considérations on peut déduire qu'il existe un sous-groupe unique V de U isomorphe à Fp* et que U est isomorphe au produit V × U1 ; le sous-groupe V est l'ensemble des entiers p-adiques x tels que xp-1 = 1, et V ∪ {0} est un système de représentants de Fp dans Zp qui est stable par multiplication, c'est un système de représentants multiplicatifs (cf. chap. 1). Pour obtenir ces résultats, on considère U et U1 comme limites projectives des suites de groupes (U/Un) et (U1/Un) respectivement, et on est ramené à prouver l'existence d'un unique sous-groupe Vn de U/Un isomorphe à Fp et tel que :
Il faut enfin élucider la structure du groupe U1. Nous allons voir que U1 est isomorphe au groupe additif Zp si p est différent de 2, et à {± 1} × Z2 si p = 2. Pour p ≠ 2, on choisit un élément a de U1 qui n'appartient pas à U2 et on considère l'homomorphisme x ↦ ax de Z dans U1 ; on a a = 1 + pu avec u ∈ U, donc ax = 1 + xpu + p2t (t entier p-adique) par le développement du binôme, et, pour x premier à p, cela montre que ax est encore un élément de U1 qui n'est pas dans U2 ; au contraire, pour x = ph, on trouve que ax est un élément de Uh+1 qui n'est pas dans Uh+2, en remarquant que pour tout n la puissance p-ième d'un élément de Un − Un+1 appartient à Un+1 − Un+2. Ces résultats permettent de voir que l'image réciproque de Un+1 dans Z est exactement pnZ ; par conséquent, x ↦ ax définit un homomorphisme injectif de Z/pnZ dans U1/Un+1, et cet homomorphisme est même un isomorphisme, car les deux groupes ont le même nombre d'éléments. En passant à la limite projective pour n → ∞, on obtient l'isomorphisme cherché Zp →∼ U1 ; on notera encore ax l'image d'un entier p-adique x par cet isomorphisme. Dans le cas où p = 2, on observe d'abord que :
Nous sommes maintenant en mesure de déterminer quels sont les carrés dans Qp. Pour p ≠ 2, on a :
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Écrit par
- Christian HOUZEL : directeur de recherche au C.N.R.S., professeur à l'université de Paris-VIII-Denis-Diderot
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