NOMBRES (THÉORIE DES) Théorie analytique
Ce qu'on appelle la « théorie analytique des nombres » ne peut pas être considéré comme une théorie mathématique au sens usuel qu'on donne à ces mots, c'est-à-dire un système organisé de définitions et de théorèmes généraux accompagné d'applications à des exemples importants. Il s'agit au contraire ici presque exclusivement de problèmes particuliers qui se posent en arithmétique et qui, pour la plupart, consistent à étudier (cf. calculs asymptotiques pour la position du problème et les notations o et O de Landau) l'« allure à l'infini » de certaines fonctions définies par des conditions de nature arithmétique : par exemple le nombre π(x) de nombres premiers p ≤ x ou le nombre U(n) des solutions de l'équation x21 + x22 = n en nombres entiers. Depuis 1830, on a imaginé, pour résoudre ces questions, des méthodes d'une extraordinaire ingéniosité qui consistent à associer aux fonctions arithmétiques étudiées des fonctions analytiques auxquelles on peut appliquer la théorie de Cauchy ou l'analyse harmonique ; mais, malgré les succès spectaculaires obtenus par ces méthodes, on ne peut dire que l'on en comprenne vraiment les raisons profondes.
La théorie additive
Le point de vue formel
Un monoïde est un ensemble M où est définie une loi de composition (s, t) ↦ st qui est associative et possède un élément neutre e (autrement dit es = se = s pour tout s ∈ M) ; les groupes sont évidemment des monoïdes ; d'autres exemples importants sont formés par l'ensemble N des entiers ≥ 0, avec pour loi l'addition, et l'ensemble N* des entiers > 0, avec pour loi la multiplication. Étant donné un corps commutatif K, on définit, pour tout monoïde M, l' algèbre K[M] du monoïde M sur K de la façon suivante : on définit l'espace vectoriel K[M] à l'aide d'une base (us), dite canonique, où l'ensemble d'indices est M ; puis on prend pour table de multiplication de cette base usut = ust, quels que soient s et t dans M ; on vérifie qu'on a bien défini ainsi une algèbre associative dont l'élément unité est ue. Tout élément x ∈ K[M] s'écrit d'une seule manière :
Remarquons maintenant que, si l'on ne fait aucune hypothèse sur les familles (ξs) et (ηs), le second membre de (2) a encore un sens si le monoïde M satisfait à la condition :
(D) Pour tout s ∈ M, il n'existe qu'un nombre fini de couples (v, w) d'éléments de M tels que vw = s.
Par exemple, les monoïdes N et N* définis ci-dessus vérifient (D). Pour un tel monoïde, on définit donc sur l'espace vectoriel K[[M]] de toutes les familles (ξs), s ∈ M, une structure d'algèbre par les formules (1) et (2) ; on dit que cette algèbre est l'algèbre large du monoïde M.
Lorsque M = N, K[[N]] n'est autre que l'algèbre des séries formelles à une indéterminée : si l'on pose u1 = X, on a un = Xn pour tout entier n ≥ 1 ; au lieu d'écrire (ξn), n ∈ N, les éléments de cette algèbre, on convient de les noter :
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Écrit par
- Jean DIEUDONNÉ : membre de l'Académie des sciences
Classification
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