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NOMBRES (THÉORIE DES) Théorie analytique

La théorie multiplicative

Le point de vue formel

On a vu supra (cf. Le point de vue formel, in chap. 1) que le monoïde multiplicatif N * vérifie la condition (D), et qu'on peut donc définir son algèbre large sur un corps K ; on se bornera encore au cas où K = C, et on notera D cette algèbre large. On note ici n−ω l'élément un de la base canonique de C[N*], et cette fois, un élément f ∈ D se note :

et on dit que c'est une série formelle de Dirichlet. Le produit de deux éléments f et g de D se note aussi f * g et est défini par :
ce qui s'écrit encore :

Pour qu'une série formelle de Dirichlet :

ait un inverse dans D, il faut et il suffit que f (1) ≠ 0. L'ordre d'une série formelle de Dirichlet :
non nulle est encore défini comme le plus petit entier n tel que f(n) ≠ 0. On voit qu'on peut encore définir dans D la somme infinie (4) et le produit infini (5) lorsque l'ordre de f n tend vers + ∞ avec n. Si on convient d'écrire F(ω) une série formelle de Dirichlet :
on écrit alors F (ω + α), pour tout nombre complexe α, la série formelle de Dirichlet :
de même, on écrit F (kω), pour tout entier k, la série formelle de Dirichlet :
et F′(ω) la série formelle de Dirichlet :

La décomposition d'un entier en facteurs premiers exprime encore que le monoïde multiplicatif N* est « produit direct » d'une infinité de monoïdes isomorphes au monoïde additif N. Dans la théorie des séries formelles de Dirichlet, ce fait apparaît de la manière suivante. Rappelons qu'une fonction f définie dans N*, à valeurs complexes, est dite multiplicative si l'on a f(1) = 1 et f(mn) = f(m)f(n) pour deux entiers m et n premiers entre eux. On vérifie aisément que, si f et g sont multiplicatives, il en est de même de f * g et de l'inverse de f dans D. Lorsque f est multiplicative, on a la décomposition en produit infini (produit étendu à tous les nombres premiers p) de la série formelle de Dirichlet :

qui équivaut à la décomposition f(n) = f (p1k1) ... f (prkr) pour la décomposition de n en facteurs premiers n = p1k1 ... prkr.

Rappelons que la fonction constante i : n ↦ 1, la fonction de Möbius μ, la fonction d'Euler ϕ, la fonction n ↦ d(n), où d(n) est le nombre de diviseurs de n, et les fonctions n ↦ σα(n), où σα(n) est la somme des puissances α-ièmes des diviseurs de n, sont multiplicatives ; il en est de même de la fonction n ↦ 2ν(n), où ν(n) est le nombre des facteurs premiers distincts de n, de la fonction de Liouville n ↦ λ(n), définie par λ(n) = (− 1)k, où k est le nombre des facteurs premiers de n, comptés avec leur ordre de multiplicité ; enfin, la fonction de von Mangoldt n ↦ Λ(n) est aussi multiplicative, Λ(n) étant 0 si n n'est pas une puissance d'un nombre premier, égal à ln p si n = pm est une telle puissance.

À ces diverses fonctions multiplicatives correspondent des séries formelles de Dirichlet, en premier lieu la série zêta :

et on montre que les séries formelles de Dirichlet correspondant aux autres fonctions multiplicatives s'expriment à l'aide de la série zêta par :

Séries de Dirichlet

L'idée fondamentale de la théorie multiplicative est tout à fait analogue à celle de la théorie additive : si, dans une série formelle de Dirichlet :

on remplace le symbole n−ω par le nombre complexe n-s = exp (− s ln n), où s ∈ C, on obtient une série de nombres complexes, qui, si elle converge, a pour somme une fonction de s ; l'application de la théorie de Cauchy à cette fonction dans les régions du plan C où cette fonction est analytique donnera des informations sur les coefficients a(n) de la série.

On pose s = σ + it, où σ et t sont réels, pour tout nombre complexe s, de sorte que l'on a :[...]

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