NOMINALISME, mathématique

Le nominalisme dans son sens traditionnel est le refus de considérer qu'il existe des entités abstraites (les universaux). Très brièvement : les entités abstraites aident l'esprit à se repérer dans le monde et permettent la communication entre les hommes, mais fondamentalement elles sont illusoires. Depuis Guillaume d'Ockham (1290 env.-env. 1349), les nombreux objets considérés en mathématiques et en logique (en particulier les ensembles finis et infinis) ont transformé le problème du nominalisme en mathématiques au point que, sans doute, l'utilisation récente qui a été faite de ce terme dans les discussions sur les fondements des mathématiques pourra apparaître comme déconnectée des usages déjà multiples de ce terme en philosophie. Nous nous en tiendrons ici aux discussions sur le nominalisme contemporain en mathématiques, dont Science without Numbers de Hartry H. Field (né en 1946), qui propose un travail de dénominalisation de la science, présente la version la plus provocante et la plus intéressante, puisqu'elle se fonde sur un concept tiré de la logique mathématique (la notion d'extension conservative) et décrit un ambitieux projet technique.

Avant lui, Nelson Goodman (1906-1998) et Willard Van Orman Quine (1908-2000), dans un célèbre article de 1947, avaient classé les diverses positions ontologiques en mathématiques en trois catégories : réalisme, conceptualisme et nominalisme. Le point de vue nominaliste dont ils esquissent le développement est une méthode utilisant les outils syntaxiques de la logique formelle pour transformer les énoncés faisant intervenir des termes abstraits (nombres, ensembles, etc.) en énoncés nominalistes ne mentionnant que des objets physiques concrets (les symboles physiques nécessaires à l'écriture des énoncés mathématiques). Cette proposition peut être vue comme la formulation nominaliste d'une philosophie formaliste extrême qui n'accepterait de donner un sens aux manipulations syntaxiques auxquelles elle ramène le travail mathématique qu'une fois celles-ci interprétées physiquement comme des manipulations concrètes de symboles matériels.

Plus récemment, un nouveau point de vue nominaliste a été défendu par le philosophe Hartry Field, non plus à propos des mathématiques considérées seules, mais à propos de l'usage fait des mathématiques par les sciences empiriques. Ce point de vue vient en réponse à l'argument d'inévitabilité de Quine et Hilary Putnam (né en 1926) qui, résumé en quelques mots, est le suivant : l'impossibilité de se passer des mathématiques dans les sciences empiriques nous donne de bonnes raisons de croire que les entités mathématiques existent.

Field expose une méthode nouvelle pour se libérer des conclusions réalistes de l'argument d'inévitabilité et soutient que, contrairement aux apparences, on peut se passer de croire en l'existence des entités mathématiques en sciences. Deux arguments organisent sa thèse. Le premier est qu'il n'est pas nécessaire qu'une théorie soit vraie pour qu'elle soit utile : il suffit qu'elle soit conservative. Par définition, une théorie mathématique M est conservative relativement à une théorie physique P si toutes les affirmations exprimables dans le langage de P qu'on peut établir par l'usage de la conjonction de M et de P peuvent l'être en utilisant seulement P. En clair, pas besoin de croire que les nombres existent pour parler des électrons, pour peu qu'on ait établi que les mathématiques utilisées, M, sont conservatives par rapport à la théorie physique, P, et cela même si dans le cours des développements de la théorie P on traite les nombres comme des entités ayant une existence authentique. Sous réserve de quelques résultats techniques à établir, on sera donc en droit de penser que les mathématiques ont une utilité uniquement pragmatique[...]