WIENER NORBERT (1894-1964)
Théorèmes taubériens
L'article sur l'analyse harmonique généralisée faisait appel à des techniques fines d'analyse que Wiener développe sous une forme systématique dans son article Tauberian Theorems de 1932. Il s'agit d'un vaste ensemble de théorèmes unifiés par l'utilisation de la convolution et de la transformation de Fourier (classique) ; la terminologie provient du théorème de Tauber (1897), le premier de ce type, qui s'énonce ainsi : Si une série de terme général an est telle que Σanxn tende vers S pour x tendant vers 1 à gauche, alors Σan = S.
Les théorèmes taubériens de Wiener sont de plusieurs formes ; un des résultats essentiels est le suivant.
Théorème. Soit K1 une fonction intégrable sur R dont la transformée de Fourier ne s'annule en aucun point de R. Soit h une fonction mesurable bornée sur R. Alors, si l'on a :
Ce type de théorème permet d'obtenir une nouvelle démonstration du théorème sur la distribution des nombres premiers.
Les théorèmes taubériens de Wiener font jouer un rôle essentiel aux zéros des transformées de Fourier et sont liés au problème de la synthèse harmonique (cf. analyse harmonique, chap. 2). Un des théorèmes fondamentaux obtenus par Wiener à ce propos est le suivant.
Théorème. Soit Σ un ensemble de fonctions intégrables sur R. Une condition nécessaire et suffisante pour que les combinaisons linéaires finies de translatées de fonctions de Σ soient denses dans L1(R) est que les transformées de Fourier des fonctions de Σ n'aient aucun zéro commun.
Ce type de résultat posait implicitement le célèbre « problème de Wiener » : Soit f et g deux fonctions intégrables sur R ; est-il vrai que g est limite dans L1 de combinaisons linéaires finies de translatées de f dès que sa transformée de Fourier s'annule sur l'ensemble des zéros de la transformée de Fourier de f ? La réponse est négative comme l'a montré P. Malliavin en 1959.
Enfin, on peut voir le point de départ de la théorie des algèbres normées dans l'étude faite par Wiener de l'algèbre A des classes de fonctions sur R qui sont des transformées de Fourier de fonctions intégrables. Le résultat de Wiener sous sa forme originale affirme : Si k ∈ A ne s'annule pas sur un segment[a, b]et si f ∈ A s'annule en dehors de[a, b], alors la fonction f/k appartient à A (cf. ce résultat sous forme trigonométrique au chapitre 2 de l'article algèbres normées).
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Écrit par
- Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII
Classification
Média
Norbert Wiener
Bettman/ Getty Images
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