NOTATION MATHÉMATIQUE

Les fonctions

L'emploi mathématique du terme de fonction date de la correspondance de Leibniz avec Johann Bernoulli. Les auteurs sont conscients du fait que, parmi quelques variables, l'une peut être une fonction de l'autre et ils rendent, s'il est possible, cette dépendance explicite ; mais des signes de fonction y sont très rares (Johann Bernoulli, 1718 : ϕx, ϕ fonction de x). Cela change avec Euler et J. d'Alembert ; Euler établit la préférence pour f, F, ϕ, Φ en tant que symboles de fonction et Lagrange propage l'emploi de ces signes.

La notation des fonctions a subi des changements profonds depuis 1930 environ, bien qu'il y ait des précurseurs dès le début du siècle et que des conservateurs ne se soient pas encore convertis au nouveau style. Dans l'analyse pratiquée avant 1930, il était usuel de désigner une fonction par f(x), c'est-à-dire avec un argument explicite. Le nouveau style fut suggéré par l'analyse fonctionnelle. Tant que l'on ne considère qu'une seule fonction ou un nombre fini de fonctions, il importe peu qu'une fonction soit désignée par f ou par f(x). Mais de quelle manière devrait-on exprimer le fait qu'une fonction appartient à un ensemble A ? La notation f(x) ∈ A est décidément fausse ; elle stipule l'appartenance des valeurs de la fonction à A ; on doit dire f ∈ A. De quelle manière doit-on exprimer le fait qu'une fonction est transformée en une autre par une transformation fonctionnelle ?

est évidemment faux ; on doit dire :

Comment indiquer la translation de la variable dans une fonction ?

est impossible ; cela devient :

Dès que l'on s'orienta vers des ensembles de fonctions et vers les transformations fonctionnelles, on fut obligé d'adopter une notation rationnelle de fonction : f est alors la fonction, et f(x) la valeur qu'elle adopte à x. Cet x est une variable libre ou liée de quelque manière, ou bien il peut indiquer quelque valeur fixe. Mais la fonction n'est pas mariée avec cet x ; au contraire, f(x) est fonction de x comme f(y) est fonction de y.

Ce mode de notation, qui a fait de grands progrès dans la mathématique pure et, en particulier, dans ses parties les plus modernes, est difficile à concilier avec un autre qu'on pourrait appeler l'idée des grandeurs et qui était la racine historique du calcul différentiel et intégral et la racine des notations suggestives de Leibniz. Imaginons une boîte noire avec un nombre de cadrans où l'on peut lire et ajuster certaines grandeurs, qui, par des lois internes de la boîte, peuvent dépendre les unes des autres. À partir des grandeurs qui s'expriment sur les cadrans, on peut former de nouvelles grandeurs, algébriquement et en divisant l'accroissement infinitésimal d'une grandeur par celui d'une seconde grandeur (alors que les autres grandeurs sont fixes, ou variables, d'après des modes prescrits). Tous ces processus peuvent s'effectuer abstraitement, sans que les dépendances fonctionnelles entre les grandeurs soient jamais explicitées. Si x et y sont deux grandeurs, les quotients différentiels 

sont tous les deux de nouvelles grandeurs. Dans un système cinématique, on forme le quotient différentiel du chemin x d'après le temps t pour obtenir la vélocité v, mais :

peuvent être aussi acceptables. Dans un système thermodynamique, on forme des quotients différentiels entre les grandeurs p (pression), T (température), V (volume) ; dans ce contexte, les lettres ne sont pas des variables, elles ne sont pas échangeables comme c'est l'habitude avec les variables.

Cette opération est réalisable jusqu'au moment où l'on veut indiquer symboliquement les dépendances fonctionnelles sous-jacentes. Introduire une nouvelle lettre pour chacune des dépendances fonctionnelles est possible, mais cela conduit à un déluge de lettres. On indique par x(t ) la fonction par laquelle le chemin x dépend du temps t, ce qui est contraire à la notation fonctionnelle, moderne ou ancienne. Si le point P d'une courbe dépend d'un paramètre t, cette dépendance est exprimée par P(t ) ; si l'on introduit un autre paramètre s au lieu de t, par exemple l'arc de la courbe, P(s) désignera cette nouvelle dépendance. Pauvre étudiant qui, dans la demi-heure qui sépare deux cours, doit s'adapter à un langage qui est anathème dans l'un et de bon ton dans l'autre !

En mathématique pure, on a raison d'exorciser une notation dont on n'a pas besoin, mais cette notation demeure fort utile en physique, et il n'y a pas d'autre possibilité pour les physiciens. Le mode de notation des grandeurs peut être aussi rigoureux que le mode fonctionnel si l'on s'abstient de contaminations. Au xix^e siècle, les mathématiciens, en particulier Jacobi, ont fait un mélange des deux ; les mathématiciens du xx^e siècle ne pouvaient plus comprendre ce jargon et ils ont rejeté le mode des grandeurs, ce qui était excessif. Ce qu'il faut, c'est une réinterprétation de ce langage.

Les difficultés qu'on rencontre sont étroitement liées à une imperfection du langage fonctionnel. Que doit-on faire si l'on veut dire qu'une certaine expression est considérée en tant que fonction d'un de ces termes, par exemple :

comme fonction de x ou de a, ou :

comme fonction de a, de b, de g, ou des trois à la fois, etc. ?

Évidemment, on peut introduire un nouveau signe pour chaque nouvelle fonction. Soit f la fonction définie par :

et ainsi de suite ; mais c'est trop compliqué. Ce qu'il faut, c'est un algorithme pour transformer une expression en un symbole de fonction. Récemment, pour de telles fonctions, on a proposé l'écriture :

on ne fait cependant jamais d'opérations avec ces symboles, et cela montre qu'ils sont impraticables. Depuis longtemps, et à l'insu de beaucoup de mathématiciens, des notations plus pratiques existent ; elles ont été propagées récemment sous la forme suivante : Le symbole ⑂_x transforme une expression en un signe de fonction de x, par exemple :

Ce symbole est aisément appliqué en succession ; par exemple, si G est un groupe,

est l'automorphisme intérieur induit par a, et :

est l'application canonique du groupe G sur son groupe d'automorphismes intérieurs ; pour une fonction f de nombres réels,

est la fonction déplacée à gauche le long de l'intervalle a, et :

est ce déplacement (translation), et :

est l'homomorphisme qui fait correspondre à a la translation par a.

L'usage de ce signe ⑂ qui transforme une expression en un symbole de fonction peut être étendu, au cas où la variable indépendante ne figure pas explicitement, pour arriver à une notation rationnelle des dépendances de grandeurs ; par exemple, dans un système mécanique donné, le chemin x en tant que fonction du temps t devrait être indiqué par :

Le même artifice pourrait permettre une notation rationnelle des dérivées partielles, qui ont posé jusqu'à maintenant d'épineux problèmes de notation.