NOVA STEREOMETRIA DOLIORUM VINARIORUM (J. Kepler)

Depuis 1611, Johannes Kepler (1571-1630) était à Linz l’astronome et astrologue de l’empereur du Saint-Empire Matthias de Habsbourg et sa charge principale était l’édition de tables astronomiques fondées sur les observations de l’astronome danois Tycho Brahe (1546-1601), dont il avait été l’assistant à Prague. Même si elle est moins connue que son œuvre astronomique, sa contribution au développement des mathématiques est loin d’être négligeable et son traité sur la « nouvelle géométrie des tonneaux de vin » (publié en 1615 sous son titre latin Nova stereometriadoliorumvinariorum) est une étape importante à l’élaboration des techniques infinitésimales qui aboutiront avec les travaux de Gottfried Leibniz (1646-1716) et d’Isaac Newton (1642-1727) au calcul différentiel et intégral. En 112 pages riches de l’énoncé de 29 théorèmes accompagnés de corollaires et de figures explicatives, Kepler surpasse les calculs des volumes initiés par les Grecs, en particulier par Archimède, en inventant une méthode particulièrement efficace. Comme une publication en latin n’atteignait que les spécialistes, Kepler écrira l’année suivante une version allemande visant un public plus large, et donc pécuniairement plus intéressante.

C’est à la suite des réjouissances qui accompagnèrent son second mariage en 1613 que Kepler s’intéresse au problème de la détermination des volumes des solides de révolution. Il avait en effet été surpris et irrité par la façon du marchand de vin d’estimer la quantité de vin qu’il avait livré. Après avoir étudié comment Archimède considérait la question, Kepler propose de décomposer le solide en une infinité de solides « indivisibles » dont la géométrie est suffisamment simple pour que leur volume (qu’on appellerait aujourd’hui infinitésimal) soit aisé à calculer. Il décompose ainsi un tonneau en une multitude de couches minces empilées et additionne les volumes de ces couches qu’il considère comme quasi cylindriques.

Par souci de pédagogie, Kepler commence son livre par l’analyse d’un problème plus simple, à savoir la détermination de la surface d’un cercle. Il considère pour cela le cercle comme un polygone dont le nombre de côtés est infini, et qui est donc composé d’une infinité de triangles infinitésimaux dont un sommet est le centre du cercle et dont les hauteurs sont égales au rayon du cercle. Comme la surface d’un triangle est le demi-produit de la hauteur par la base et que la somme de toutes les bases triangulaires est égale au périmètre du cercle, la somme de toutes les surfaces infinitésimales est égale à πR². Kepler passe ensuite au cas tridimensionnel en décomposant une sphère en une multitude de cônes dont les sommets sont au centre de la sphère. Comme le volume d’un cône est égal au tiers du produit de sa hauteur par la surface de sa base, il obtient le volume correct de la sphère, soit (4/3)(πR³). Après avoir traité de façon équivalente le volume d’un tore, il passe à la détermination de volumes non connus jusque-là. Tout en se limitant aux solides de révolution (c’est-à-dire ceux qui sont construits par la rotation d’une surface plane autour d’un axe), son approche se révèle suffisamment générale pour lui permettre de déterminer le volume de 92 solides de formes différentes.

Cet ouvrage marque une étape importante du développement des méthodes de calcul intégral. On peut cependant douter que Kepler lui ait accordé beaucoup d’importance. À cette époque, en effet, il rédigeait son traité de cosmologie, HarmoniceMundi(Harmonie du monde), qui sera publié à Linz quatre ans plus tard ; il y déploiera sa vision chrétienne de l’Univers. En 1635, les travaux de Bonaventura Cavalieri, un étudiant de Galilée, et le traité Arithmeticainfinitorum (Arithmétique des infinitésimaux) de John Wallis, en 1655, précéderont de[...]