NUMÉRATION
Le problème de la numération est celui de la désignation des nombres. Les nombres sont définis de manière intrinsèque, indépendamment de leur nom, et la façon de les désigner dépend du langage, du « code » choisi. Pour comprendre en quoi consiste la numération, il est important d'abord de savoir distinguer un nombre de ses représentations dans divers « systèmes de numération ». Les nombres entiers naturels sont définis dans l'article axiomatique ; nous ne rappelons d'abord ici que les notions élémentaires les concernant.
Les entiers naturels
Bijections
Une application f d'un ensemble A sur un ensemble B est dite une bijection lorsque :
– tout élément de B est l'image par f d'un élément de A (surjection) ;
– deux éléments distincts de A ont toujours pour images par f deux éléments distincts de B (injection).
Lorsqu'il existe une bijection de A sur B, il en existe aussi une de B sur A, et on dit que A et B ont autant d'éléments. C'est une notion très simple, car on peut voir si deux ensembles ont autant d'éléments sans compter ces éléments.
Ainsi, les bergers de l'Antiquité utilisaient des cailloux (d'où le nom de « calcul ») pour faire rentrer le soir autant de moutons qu'ils en avaient fait sortir le matin ; de même, lorsqu'on voit de nombreux couples danser sur une scène, malgré l'animation et sans compter, on sait immédiatement qu'il y a autant d'hommes que de femmes ; remarquons enfin que, dès l'école maternelle, les enfants savent qu'ils ont autant de doigts à une main qu'à l'autre, aux mains qu'aux pieds, qu'il y a autant de tasses que de soucoupes, etc., et cela parce qu'ils savent réaliser les bijections correspondantes.
Cardinaux
Plusieurs ensembles d'objets étant donnés, on peut opérer un classement en rangeant dans une même « classe » les ensembles ayant autant d'éléments. Les ensembles d'une même classe sont dits « équipotents ». Ces exercices présentent l'inconvénient de ne porter que sur des ensembles finis, mais permettent de bien mettre en évidence la notion d' équipotence entre ensembles.
L'équipotence entre ensembles est réflexive, symétrique et transitive, mais on peut remarquer que l'on commet un abus de langage lorsqu'on dit que c'est une « relation d'équivalence ». En effet, les relations sont définies seulement sur des ensembles, or l'équipotence est définie sur la « collection de tous les ensembles », de même que l'appartenance ou l'égalité des ensembles.
Les cardinaux peuvent être considérés comme les « classes d'équivalence » déterminées par cette « pseudo-relation » sur la collection de tous les ensembles : les ensembles d'une même classe ont donc en commun la propriété d'avoir « même cardinal ».
Nombres entiers
Aspect « cardinal »
On peut être tenté de définir le « nombre d'éléments » d'un ensemble comme la propriété commune à tous les ensembles qui ont même cardinal que lui ; dans ce cas, « nombre » et « cardinal » seraient synonymes. Mais, en réalité, seuls les cardinaux finis sont des nombres entiers.
On peut prendre comme définition : Un ensemble est fini si et seulement s'il n'est équipotent à aucune partie stricte de lui-même.
Aspect « ordinal »
Si l'on construit une suite d'ensembles dont le premier est vide et tels que, à partir du deuxième (auquel on donnera le numéro un), chacun s'obtient en recopiant le précédent et en lui adjoignant un objet et un seul, c'est-à-dire que chaque ensemble a exactement « un objet de plus » que le précédent, ce qu'on matérialise ainsi n'est autre que la construction des « ordinaux finis » par :
(cf. l'étude des[...]
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Écrit par
- Josette ADDA : maître assistante à l'université de Paris-VII
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