NUMÉRATION
Numération de position à base constante
Soit B un entier naturel fixe, dit « base » ; une unité de chaque ordre vaut B unités de l'ordre précédent.
Par suite de l'unicité du quotient et du reste dans la division euclidienne (cf. divisibilité, chap. 1), tout entier naturel a peut s'écrire d'une manière et d'une seule sous la forme :
La numération de position revient à représenter le nombre en écrivant seulement les coefficients de ce polynôme (mais tous les coefficients nuls ou non, de manière que leur place soit définie sans ambiguïté), donc à désigner le nombre précédent par :
(pour l'introduction du zéro, cf. notation mathématique). Ainsi, le nombre « neuf » s'écrit :
Une erreur est à éviter : il faut se garder de lire « mille un » pour 1001(deux) ; on doit lire la suite des chiffres écrits de gauche à droite dès que le nombre est écrit dans une base différente de dix. Il serait également maladroit d'écrire la base en chiffres, car on ne saurait pas de quel nombre il s'agit (sauf lorsque l'on convient que les bases sont toujours exprimées dans la base dix, par exemple).
Le système décimal est le système de numération de position où la base est dix, c'est-à-dire que les unités du deuxième ordre (les « dizaines ») valent dix unités du premier ordre, les unités du troisième ordre (les « centaines ») valent dix unités du deuxième ordre, etc. Prenons, par exemple, 8 345 :
Le système binaire est le système de numération de position où la base est deux : l'alphabet est composé des deux seuls chiffres 0 et 1. Ce système est très utilisé, car les machines à deux états (machines électriques ou électroniques, par exemple) peuvent réaliser une représentation des nombres entiers par leur désignation binaire, les deux états de la machine étant, dans le code, la traduction du 0 et du 1. Ainsi, « neuf » peut être codé par un top suivi de deux blancs puis d'un autre top.
Lorsque la base est supérieure à dix, il est nécessaire d'adjoindre aux chiffres habituels de nouveaux symboles. Par exemple, en base douze, on utilisera :
Numération de position à base non constante
On peut voir que, dans de nombreuses civilisations, le système de numération est un système positionnel à base non constante : il est analogue au système défini plus haut, mais les unités des divers ordres ne sont pas toutes les puissances de l'unité du premier ordre. Les unités de chaque ordre étant définies, tout nombre naturel s'écrit encore d'une manière et d'une seule dans le système déterminé par ces unités en opérant des divisions euclidiennes successives comme dans les cas à base constante.
Comparaison de deux nombres et opérations
Deux nombres écrits dans le même système de numération de position peuvent être comparés : on a vu qu'un même nombre ne peut s'écrire que d'une seule manière dans un système donné. Soit deux nombres a et b :
Pour les opérations, le système de numération a des implications sur les techniques opératoires (retenues) : la désignation du résultat d'une opération sur les entiers naturels est fonction de la désignation de ces nombres.
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Écrit par
- Josette ADDA : maître assistante à l'université de Paris-VII
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