NUMÉRATION
Nombres à virgule
De nombreux codages utilisés dans la pratique sont fondés non pas sur l'ordre des entiers, mais sur celui des nombres à virgule : par exemple les cotes des livres dans les bibliothèques modernes, le numérotage des maisons de certaines rues en bis, ter...
On y est amené lorsqu'on veut pouvoir intercaler des éléments entre deux éléments quelconques. Il s'agit d'un ordre analogue à celui des dictionnaires ; c'est pourquoi on l'appelle aussi « ordre lexicographique ». Cette question est en relation avec celle du repérage sur une demi-droite.
Construction de nombres à virgule binaires
Entre 0 et 1 on introduit un nombre noté « 0,1 » ; entre 0 et 0,1 on introduit un nombre noté « 0,01 » ; entre 0 et 0,01 on introduit un nombre noté « 0,001 » ; etc. De même, entre 1,1 et 1,11 on introduit un nombre noté « 1,101 », etc.
Un nombre à virgule binaire s'écrit donc comme un nombre entier en base deux suivi d'une virgule et d'une suite de « 0 » et de « 1 » en nombre fini avec la propriété que tout nombre est égal à tous ceux qu'on peut écrire en adjoignant des zéros à sa droite. Par exemple :
Nombres à virgule de base quelconque
On construit les nombres « décimaux » à partir des nombres naturels en introduisant neuf nouveaux nombres entre deux nombres naturels consécutifs, puis encore neuf nombres entre deux nombres consécutifs ainsi déterminés, et ainsi de suite.
L'ensemble des entiers naturels apparaît donc comme sous-ensemble de l'ensemble des nombres décimaux, et ceux-ci sont écrits avec les symboles « 0 », « 1 », « 2 », « 3 », « 4 », « 5 », « 6 », « 7 », « 8 », « 9 » et le symbole de virgule « , ».
De même que les nombres à virgule binaires ou décimaux, on peut considérer des nombres à virgule de n'importe quelle base. Il faut cependant noter que, tandis que pour les entiers naturels changer de base revenait à changer le nom des mêmes nombres, ici la base intervient dans la définition des nombres eux-mêmes ; par exemple, le nombre à virgule ternaire 0,1 n'est pas un nombre décimal, car il s'agit du nombre rationnel 1/3 dont on sait que ce qu'on appelle le « développement décimal » s'écrit « 0,333...3... » avec une infinité de chiffres « 3 ».
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Écrit par
- Josette ADDA : maître assistante à l'université de Paris-VII
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