OBJET

Réalisme et nominalisme

Du point de vue du type de réalité qu'on leur attribue, on distinguera l'orientation réaliste et l'orientation nominaliste. La première pourrait être représentée par Platon chez les Anciens, par Frege chez les Modernes, quoiqu'en des sens fort différents. Elle consiste à considérer les mathemata non pas tant comme des objets que comme des êtres, indépendamment du mode de connaissance qu'on en peut avoir. On connaît la boutade de Frege : le nombre entier est aussi réel que la mer du Nord... Quelle que soit la manière dont la thèse est entendue, il en résulte évidemment que la mathématique est une science de découverte, que les objets mathématiques existent de toute éternité et que leurs propriétés, comme celles des objets du monde sensible, peuvent être soupçonnées, conjecturées, entrevues avant même que des démonstrations explicites les viennent à coup sûr établir. En faveur d'une telle thèse, on alléguera les obstacles et les contraintes qu'offrent à la pensée les objets mathématiques, leur caractère immuable une fois défini, et l'expérience de nombreux mathématiciens créateurs qui disent « voir » et manipuler les objets de leurs recherches.

Selon l'orientation nominaliste, en revanche, on considère ces objets comme des constructions de langage, renvoyant en dernier ressort à des sensations. Pour Locke, ils consistent en relations d' idées, non de fait dont l'exacte manipulation a surtout pour effet de procurer une habitude de « raisonner rigoureusement avec ordre » (De la conduite de l'entendement, paragr. 7, p. 35). Selon Berkeley, la science des nombres concerne des idées abstraites, et si elles sont détachées « des noms et des figures, comme de tout usage et pratique, ainsi que des choses particulières qui sont dénombrées, on peut supposer qu'elles n'ont aucun objet » (The Principles of Human Knowledge, paragr. 120). Pour un nominaliste, il serait donc possible d'éliminer de la science des choses ces agencements de symboles en explicitant leur construction jusqu'à ses derniers éléments. Des tentatives radicales ont été poursuivies en ce sens, pour exposer avec quelque détail des procédures de pensée permettant de reformuler des théories physiques en se passant des notions de nombre et plus généralement même de l'analyse : exhiber « une science sans nombres », selon l'expression de H. Field. De telles entreprises, et la position nominaliste en général, ont certainement le mérite d'attirer l'attention sur la place et l'importance du symbolisme dans la connaissance ; mais en le réduisant à n'être qu'un appareillage extérieur, elles passent sous silence la fécondité propre et l'aspect autonome du devenir des objets mathématiques.

Entre ces deux positions tranchées, il y a place du reste pour des doctrines en quelque sorte intermédiaires. Pour Aristote, par exemple, les mathemata sont bien des réalités incorruptibles, objets de l'une des trois sciences théoriques. Mais ils n'ont point d'existence séparée de celle des êtres périssables mais existants desquels la pensée les abstrait. Pour Hilbert, chez les Modernes, les objets mathématiques ont assurément une réalité propre, autre que celle des symboles où ils s'expriment ; mais le grand mathématicien a cependant cru possible d'en établir les propriétés logiques, en tant qu'ils forment système, en les réduisant à cette expression symbolique, en traitant les « inscriptions » mathématiques comme des objets.

Logicisme et intuitionnisme

Du point de vue de leurs fondements originaires, on distinguera l'orientation logiciste et l'orientation intuitionniste, qui peuvent l'une et l'autre s'associer avec plus ou moins de cohérence à chacune des deux tendances précédentes. Le logicisme sous sa forme radicale consiste en un effort pour réduire l'objet mathématique à une pure construction logique, entendant par logique ici le calcul des prédicats et des relations. Frege et Russell sont les grands initiateurs modernes de cette entreprise. L'un des moments cruciaux de la réduction est évidemment la définition du nombre cardinal comme classe d'équivalence de classes bijectives (« équinumériques »), les notions de classe, de relation d'équivalence et de bijection ayant été préalablement construites au moyen des seules notions considérées comme logiques de connecteur propositionnel, de prédicat, de quantificateur et de fonction (au sens d'application fonctionnelle). Les tentatives logicistes de Frege et Russell- Whitehead, consignées dans deux monuments de la philosophie moderne des mathématiques, ont rencontré deux espèces d'obstacles, reconnus et attaqués en vain par ces mêmes auteurs. C'est d'une part la nécessité de recourir à un axiome spécifique, apparemment étranger au fonds de la pensée logique : l'axiome dit de l'infini garantissant l'indéfinie extension de la suite des objets logiques assimilés aux entiers. C'est, d'autre part, la menace des paradoxes dont l'un, découvert par Russell lui-même, consiste à déduire une contradiction de la notion de classe telle que l'introduisaient, chacun selon son style, les deux pères fondateurs du logicisme.

On a retenu le mot « intuitionnisme » pour désigner la seconde orientation annoncée. Mais on lui donne ici un sens plus large que son sens historique strict, qui s'applique aux conceptions inaugurées par L. E. J. Brouwer. Ainsi compris, il s'applique aussi aux thèses plus récentes dites « constructivistes », et jusqu'à un certain point au « finitisme » de Hilbert et aux thèses exposées par Wittgenstein postérieurement au Tractatus. L'idée fondamentale en est d'exiger des conditions strictes assurant l'existence effective des objets mathématiques. Il en résulte, relativement aux mathématiques classiques, une restriction du champ des manœuvres démonstratives autorisées, soit par le biais d'une exclusion des procédures ne pouvant être achevées en un nombre fini de pas, soit en refusant le concept général et abstrait d'une règle faisant correspondre à tout nombre naturel un nombre naturel, soit en rejetant l'équivalence de la double négation et de l'affirmation d'une propriété. Un objet mathématique ne sera donc admis, une propriété ne sera démontrée, que si, en des sens qui peuvent varier selon les doctrines, l'objet et la propriété sont effectivement présentés à la pensée et construits. L'intuitionnisme établit ainsi qu'une partie importante de l'analyse classique ne répond pas à ses exigences et introduit des objets qu'il ne saurait recevoir tels quels. L'exemple classique proposé par Brouwer est le suivant.

Appelons p le nombre tel que la p-ième décimale dans le développement de π précède pour la première fois la séquence (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Formons la suite a_n telle que : a_n = (− 1/2)ⁿ si n < p et a_n = (− 1/2)^p si n > p. Cette suite est bien convergente mais on ne peut dire si sa limite est égale à 0 ou différente de 0, car le nombre p, pourvu de sens pour les classiques, ne saurait cependant être construit puisqu'on ne peut démontrer ni que la séquence (0, 1...9) existe ni qu'elle n'existe pas dans le développement décimal de π.

Il ressort des divers points de vue présentés sur la nature et l'existence des objets mathématiques que le problème central qu'ils proposent au philosophe des sciences se situe bien, en fin de compte, dans leur rapport aux systèmes d'opérations dont ils sont les supports et les produits. L'histoire des mathématiques montre que les systèmes opératoires qui se constituent d'abord en dualité apparemment parfaite avec les champs d'objets (l'arithmétique et les entiers naturels, l'algèbre et les nombres algébriques réels) se trouvent pour ainsi dire débordés par ces objets mêmes. C'est ainsi que surgit la nécessité de donner un statut aux entités « feintes » nées de certaines soustractions originairement interdites (on l'utilise dans les calculs, mais on ne se résoudra explicitement que bien tardivement, au xviii^e siècle, à légitimer les nombres négatifs...) ; c'est ainsi que le cas irréductible de l'équation du troisième degré oblige à étendre le champ des nombres algébriques réels et à reconnaître de nouveaux objets – « imaginaires » – auxquels s'appliqueront sans réserves toutes les opérations de l'algèbre. Un mouvement créateur scandé par des états successifs d'inadéquation entre l'opératoire et l'« objectal » et d'adéquation (provisoirement) reconquise caractériserait ainsi l'histoire des objets mathématiques. L'un des mérites de l'intuitionnisme, que soient ou non bien-fondées les restrictions qu'il exige, est sans doute de mettre en évidence cette corrélation de l'opération et de l'objet, et c'est ainsi qu'on peut interpréter le mot bien connu de Brouwer, repris textuellement – ou réinventé – par Wittgenstein : la mathématique est plutôt une activité qu'une doctrine ; « mehr ein Tun dann eine Lehre ».