ONDELETTES

2. Une représentation efficace

Une partition musicale est une représentation formidablement efficace du signal musical, dans la mesure où elle schématise une énorme quantité d'informations en utilisant relativement peu de signes. La première question qui vienne à l'esprit est de savoir si les décompositions en ondelettes sont capables d'approcher une telle efficacité, ne serait-ce que dans des situations nécessairement idéalisées où le signal est moins complexe. Ainsi, étant donné une fonction mathématique, ses coefficients d'ondelettes permettent-ils de retrouver simplement certaines de ses caractéristiques ? Ou encore, étant donné un signal produit par un phénomène bien déterminé, peut-on à l'aide d'une transformée en ondelettes accéder à certaines informations relatives à ce phénomène ou bien détecter ce phénomène quand il se produit (on peut penser à des applications très pratiques, par exemple détecter automatiquement le dysfonctionnement d'un moteur par analyse du bruit qu'il produit) ? Il est bien évident que la réponse est négative dans le cas général (l'outil universel n'existe pas...). Cela étant, les décompositions en ondelettes ont quand même permis de répondre par l'affirmative dans nombre de cas précis.

Une famille d'exemples nous est fournie par les mathématiques, comme l'ont montré Y. Meyer et ses collaborateurs. Une des problématiques traditionnelles de l'analyse mathématique est la caractérisation de ce que l'on appelle les propriétés de régularité des fonctions. Très grossièrement, la régularité d'une fonction traduit la rapidité avec laquelle elle varie. Plus précisément, les fonctions sont regroupées en classes (appelées « espaces fonctionnels ») de fonctions possédant toutes certaines propriétés génériques. Certaines de ces propriétés étant souvent difficiles à vérifier directement, il est souvent nécessaire de les traquer par des moyens détournés. La transformation de Fourier en est un, et les fonctions de certaines classes peuvent être caractérisées par les propriétés de leur transformée de Fourier : en schématisant à l'extrême, plus une fonction f(t) varie rapidement (c'est-à-dire moins elle est régulière), plus elle contient de sinusoïdes sin(ωt) et cos(ωt) de fréquences ω élevées, et plus sa transformée de Fourier décroît lentement quand la fréquence ω augmente. Par malheur, autant cette idée paraît naturelle intuitivement, autant elle est difficile à traduire dans un contexte mathématiquement rigoureux. L'un des apports essentiels de l'analyse par ondelettes dans ce contexte a été de montrer que cette idée simple est bien plus correcte quand on la formule en utilisant des ondelettes qu'en utilisant des sinusoïdes. Plus une fonction est régulière, plus ses coefficients d'ondelettes décroissent vite quand l'échelle décroît, et vice versa. Bien entendu, tous les espaces fonctionnels ne peuvent être caractérisés aussi facilement. Le résultat est simplement que l'analyse par ondelettes permet d'en « attraper » plus que ne le fait l'analyse de Fourier. Dans un même ordre d'idées, la variable d'échelle des ondelettes permet d'analyser finement les propriétés de fonctions ou d'objets fractals, c'est-à-dire se reproduisant à l'identique à des échelles différentes. C'est ainsi que l'on a pu mettre en évidence les propriétés fractales de certaines fonctions mathématiques, ou encore du signal de vitesse d'un fluide dans un écoulement turbulent.

Cependant, les atouts des décompositions en ondelettes vont bien au-delà de ces propriétés mathématiques. En effet, il s'avère que nombre de fonctions ou signaux que l'on peut rencontrer couramment en pratique sont efficacement représentés par des ondelettes.[...]