ONDELETTES

5. Au-delà des ondelettes

En dépit du grand nombre de succès qu'elle a pu rencontrer et de la diversité des applications qu'elle a trouvées, l'analyse par ondelettes est loin de nous donner une réponse universelle et définitive au problème de représentation et de codage des signaux. Cependant, elle fournit souvent une réponse qui n'est pas très éloignée de la réponse optimale, ce qui, combiné à la grande simplicité de l'outil et à sa grande efficacité algorithmique, explique son succès grandissant. En revanche, dans certains cas bien précis, il est nécessaire de rechercher des techniques permettant de s'approcher plus encore de l'optimum, tout en essayant de conserver les atouts des ondelettes.

Une approche possible consiste à rechercher des décompositions en ondelettes généralisées. La motivation peut se résumer comme suit : les ondelettes peuvent être vues comme un ensemble de signaux élémentaires, suffisant pour exprimer n'importe quel signal. En d'autres termes, elles fournissent un « dictionnaire » de signaux élémentaires, à partir duquel on peut reconstruire tout signal. L'analogie est intéressante dès lors que l'on réalise que plus un dictionnaire est complet, plus les phrases qu'il permet de former peuvent être courtes. En effet, plus nous avons de mots à notre disposition, plus il nous sera facile de nous exprimer avec concision. La transcription mathématique de cette idée nous conduit tout droit à la problématique des décompositions adaptatives des signaux. R. Coifman, Y. Meyer et leurs collaborateurs ont montré que les algorithmes rapides associés aux décompositions en ondelettes permettent aussi de définir des ondelettes généralisées (appelées « paquets d'ondelettes »), qui offrent une souplesse supplémentaire. Les paquets d'ondelettes contiennent non seulement les ondelettes usuelles, mais aussi une multitude d'autres méthodes, toutes aussi efficaces algorithmiquement. Cela suggère de rechercher, pour un signal donné, laquelle de ces méthodes conduit à la représentation la plus efficace dans un sens donné. Ainsi, si l'application est la compression des signaux, on va rechercher la méthode qui fournit une compression optimale. Cette méthodologie est actuellement à l'étude par les grandes compagnies pétrolières pour la compression des signaux récoltés lors des campagnes de mesure en prospection pétrolière.

Un autre aspect de ce problème concerne le couplage des décompositions en ondelettes avec d'autres méthodes. Par exemple, pour la compression de données, il faut comprendre que l'opération ne se limite pas à trouver une bonne représentation du signal ; il faut aussi se poser le problème du codage des coefficients (en pratique, les coefficients sont des nombres réels que l'on code par des suites de 0 et de 1). L'un des problèmes posés à l'heure actuelle est de « marier » les méthodes de codage et les méthodes de transformation en ondelettes ou en ondelettes généralisées.

Il est aussi souvent important de se préoccuper de problèmes autres que ceux d'ordre mathématique et de faire intervenir, par exemple, des informations sur la nature même des signaux étudiés. Si nous considérons le problème de la représentation économique des sons, il serait illusoire de penser que l'on puisse approcher l'optimum sans se préoccuper du processus physique d'audition. Les psychophysiciens savent depuis longtemps que notre appareil auditif est un outil très sophistiqué, qui a en particulier la capacité de masquer les sons : en effet, si nous écoutons un son d'une certaine hauteur (c'est-à-dire à une certaine fréquence), accompagné d'un autre son d'une fréquence proche, d'intensité légèrement plus faible, nous ne percevrons que le premier, le second étant donc masqué. C'est ainsi que l'on peut reformuler le problème de codage du[...]