OPTIMISATION & CONTRÔLE

Équations aux dérivées partielles

Soit Ω un ouvert borné de Rⁿ. Si l'on cherche, dans un espace fonctionnel approprié, les fonctions x : Ω → R^N prenant des valeurs données sur le bord de Ω et minimisant l'intégrale :

où (∂x/∂t) (t) représente la matrice des (∂x^j/∂t_i) (t) et f (t, x, y) est une fonction donnée, on obtient comme condition nécessaire du premier ordre les équations d'Euler-Lagrange :

Beaucoup d'équations issues de la physique sont de ce type (on dit alors qu'on a affaire à un problème variationnel). Il est cependant fréquent que les solutions physiques ne minimisent pas l'intégrale ci-dessus, mais correspondent à d'autres types de points critiques.

Il reste cependant des cas (problèmes elliptiques essentiellement) où l'on peut ramener la résolution d'une équation aux dérivées partielles à un problème d'optimisation. Le cas classique est le problème de Dirichlet (avec N = 1) :

qui se ramène à la minimisation de l'intégrale :où, pour chaque t fixé, F(t, () est une primitive de f (t, (). Si F(t, () est convexe, c'est-à-dire si f (t, () est croissante, les deux problèmes sont équivalents, et ont une solution unique. Si F(t, () est simplement minorée par une fonction convexe, l'intégrale admet un minimum qui résoudra le problème de Dirichlet.

Les moyens modernes, particulièrement la théorie des espaces de Sobolev, permettent d'étendre cette méthode à des situations plus compliquées. La nécessité de résoudre le problème d'optimisation correspondant, et donc d'employer le théorème d'existence cité plus haut, conduit à quelques traits généraux :

(a) les termes d'ordre supérieur (2 dans l'exemple cité) doivent constituer le sous-différentiel d'une fonction convexe : on dit qu'ils sont elliptiques. Les termes d'ordre inférieur sont moins déterminants, et peuvent en général être traités par des méthodes de compacité ;

(b) les espaces fonctionnels où l'on cherche la solution doivent être réflexifs, ce qui exclut l'usage de C^r. Il faudra travailler dans des espaces construits à partir des L^p, 1 < p < ∞, et la solution x̄ du problème d'optimisation ne sera pas nécessairement différentiable, et ne vérifiera l'équation désirée qu'en un sens à préciser (solution faible). La résolution complète de l'équation nécessitera donc une deuxième étape, où l'on montrera par des méthodes ad hoc que la solution faible x̄ trouvée est en fait suffisamment différentiable pour vérifier l'équation en chaque point (solution classique) : c'est le problème de la régularité, qui est ainsi séparé du problème de l'existence.

Le cas des systèmes (N > 1) est encore mal compris, et suscite beaucoup d'intérêt à l'heure actuelle, en liaison avec certains problèmes de mécanique des solides (élasticité non linéaire).

À côté des simples équations, les inéquations ont maintenant acquis droit de cité. Elles apparaissent naturellement quand on envisage ces problèmes sous l'angle de l'optimisation. Ainsi, la condition nécessaire et suffisante d'optimalité dans le cas convexe (cf. supra) s'écrira :

On dit que x̄ est une solution de l'inéquation variationnelle :

Cette notion est apparue comme essentielle pour la formulation correcte d'un grand nombre de problèmes de mécanique et de physique (frottement sec, problèmes avec obstacle). Ainsi, par exemple, le problème de Dirichlet avec un obstacle symbolisé par la fonction ϕ(t)

s'écrit comme l'inéquation variationnelle :que l'on préfère mettre sous la forme[...]