OPTIQUE Images optiques

Éclairage incohérent

L' éclairage incohérent est celui d'un objet qui reçoit les rayons d'une source thermique étendue (Soleil, lampe d'éclairage). Tous les points de l'objet sont indépendants au point de vue de la lumière qu'ils renvoient, et l'image est obtenue en faisant la somme des intensités lumineuses des différents points images.

Soit y, z les coordonnées d'un point objet M par rapport à deux axes rectangulaires OY, OZ, O étant le point où le plan de front P qui contient M coupe l'axe. Un point M′ du plan P′ où l'on observe l'image est caractérisé de même par ses coordonnées y′ et z′ ; elles sont respectivement égales à g.y et g(z (g étant le grandissement transversal) lorsque M′ est confondu avec M′₀, image géométrique de M. Dans le cas contraire, le vecteur M ′ ₀M′ a pour coordonnées y′ − gy et z′ − gz, qui deviennent y′ − y et z′ − z si l'on convient d'utiliser des unités de longueur g fois plus grandes dans le plan P′ que dans P.

Soit O(x, y)dy dz l'intensité lumineuse d'un élément objet de surface dy dz infiniment petit, entourant M. L' éclairement E(y′, z′) au point M′ est proportionnel à la grandeur :

D étant une fonction qui exprime la répartition de la lumière venant de M entre les divers points du plan image. On admet que cette fonction ne dépend pas du point M ; elle dépend à la fois des aberrations, de la diffraction et d'un éventuel défaut de mise au point. L'intégrale double s'étend à tous les éléments du plan objet ; on dit que E est le produit de convolution de l'objet et de la tache image d'un point, ce qui s'écrit symboliquement :

Appliquons ce résultat à l'image d'un objet périodique particulier : une succession de raies lumineuses fines équidistantes. La distance de deux traits successifs est la période p ; l'inverse 1/p est appelé fréquence spatiale de cet objet. La répartition lumineuse dans le plan image est une succession de bandes dues chacune à la superposition des taches images des différents points de l'objet. L'image n'est pas rigoureusement semblable à l'objet, mais celui-ci est facilement reconnu si le pas p est assez grand.

Augmentons la fréquence spatiale de l'objet ; les différentes bandes empiètent les unes sur les autres, le contraste diminue. Il disparaît pour une fréquence spatiale (dite de coupure) suffisamment élevée. L'instrument ne « résout » plus l'objet. Selon la fonction D, il reproduit plus ou moins fidèlement un objet de fréquence spatiale donnée ; son rôle est comparable pour cette transmission à celui d'un appareil acoustique ou d'un filtre électrique pour la transmission des fréquences temporelles.

Filtrage des fréquences spatiales en éclairage incohérent

Les indications qui vont suivre supposent connues les notions concernant les transformées de Fourier exposées au chapitre 4 de l'article distributions (mathématiques).

Un objet quelconque peut être représenté par la superposition d'une infinité de répartitions sinusoïdales de luminances. Dans le cas général d'un objet périodique à deux dimensions y et z, les fréquences spatiales μ = 1/p_y et ν = 1/p_z forment un ensemble à deux dimensions.

Soit o(μ, ν) et d(μ, ν) les transformées de Fourier de O(y, z) et D(y′, z′). Celle de la fonction E, produit de convolution de O et D, est, d'après le théorème de Parseval, le produit o(μ(ν) × d(μ(ν) ; d est appelé fonction de transfert de modulation du système optique et joue un rôle identique au gain d'un amplificateur en radioélectricité.

On montre, λ étant la longueur d'onde de la lumière, que d est fonction de λ/√μ[...]