OSCILLATEURS

Systèmes à plusieurs variables

Il est rare que l'on puisse schématiser les phénomènes caractérisant un système physique à l'aide d'une seule variable q. Ainsi, par exemple, en mécanique et en électricité, on rencontre les modèles suivants qui sont caractérisés par deux paramètres dont les variations en fonction du temps sont régies par un système de deux équations différentielles.

De manière générale, pour deux variables, on écrit le système différentiel linéaire :

Du fait que q₁ et q₂ interviennent dans chaque équation de ce système, on dit que les variables sont couplées. On recherche une solution particulière sous la forme :

où K₁ et K₂ ne doivent pas être nuls tous les deux ; dans ces conditions, K₁, K₂ et s obéissent au système algébrique suivant, linéaire et homogène par rapport aux inconnues K₁ et K₂ :

ou :

avec :

On doit donc écrire que le déterminant Δ(s) :

est nul pour que ce système admette une solution non banale, ce qui conduit à une équation du quatrième degré en s, qui admet quatre racines s₁, s₂, s₃, s₄ (s_p avec p = 1, 2, 3, 4), réelles ou complexes, distinctes ou confondues. Comme l'équation en s est à coefficients réels, dès qu'elle admet une racine complexe, elle admet aussi la racine conjuguée. Pour s = s_p :

Dans le cas où les racines s_p sont toutes distinctes, la solution générale du système différentiel est :

Si certaines racines sont multiples, l'exponentielle correspondante est multipliée par un polynôme dont le degré est égal à la multiplicité de la racine diminuée d'une unité ; ainsi, dans le cas d'une racine triple, le polynôme sera du second degré.

À titre d'exemple d'intégration, envisageons le cas de deux disques rappelés par des ressorts travaillant en torsion et supposons que I₁ = I₂ = I, Γ₁ = Γ₂ = Γ ; les racines en s sont ± iω, ± iω√3, avec ω = √Γ/I, ρ(± iω) = 1, et ρ(± iω√3) = − 1. Les amplitudes de torsion ont pour expressions :

et :

On voit que α₁ et α₂ ne sont pas des fonctions périodiques du temps, bien qu'elles soient des combinaisons linéaires de fonctions sinusoïdales du temps (mais dont les périodes ne sont pas commensurables, puisque ω₂/ω₁ = T₁/T₂ = √3, qui n'est pas un quotient de deux entiers). Dans ce cas, les fonctions α₁ et α₂ sont bornées. On voit qu'il en sera de même chaque fois que l'équation Δ_n(s) = 0 n'admettra pas de racine positive ou à partie réelle positive. Or, le théorème de Routh permet d'exprimer très généralement qu'un polynôme en s de degré n (n'admettant pas de parité donnée, c'est-à-dire ni pair, ni impair) a toutes ses racines négatives ou à partie réelle négative ; il se traduit par des règles qui s'appliquent simplement. Soit le polynôme (ni pair, ni impair) :

où a₀ peut être choisi positif sans que rien ne soit changé à l'étude des racines de l'équation Δ_n = 0. On place les coefficients de l'équation sur deux lignes :

puis on constitue une nouvelle ligne :

et ensuite une nouvelle ligne :

et ainsi de suite, jusqu'à épuisement des termes ainsi formés ; on remarque que, toutes les deux lignes, le nombre des termes diminue d'une unité, et il y a finalement une ligne qui ne comporte qu'un seul terme et qui finit le tableau (on remarque que si le polynôme était pair ou impair, cas exclus, une des deux premières lignes de coefficients serait une ligne de zéros). Les conditions nécessaires et suffisantes, dites conditions de Routh, pour que l'équation Δ_n = 0 ait toutes ses racines à partie réelle négative sont que tous les termes de la première colonne du tableau complet ainsi formé soient positifs : a₀> 0, a₁> 0, b₀> 0, b₁> 0 ... ; par exemple, pour le polynôme :

ces conditions nécessaires et suffisantes peuvent s'exprimer par les relations suivantes : a₀> 0, a₁> 0, b₀ = a₁a₂ − a₀a₃> 0, b₁ = b₀a₃ − a²₁a₄ > 0, a₄ > 0.

Dans le cas où le polynôme en s est de parité donnée, s'il est impair il a une racine nulle (qui conduit à une solution constante) ; et, après mise en facteur de s, il reste à étudier les racines d'un polynôme pair. Chaque cas particulier doit être examiné. Dans le cas d'un polynôme du second degré as² + c = 0, si c/a = ω² (cas de l'oscillateur harmonique), s = ± iω ; si c/a = − ω², il y a instabilité. Dans le cas d'un polynôme du quatrième degré as⁴ + bs² + c = 0, si a > 0, b > 0, b² − 4 ac > 0, les racines en s² sont négatives et les racines en s sont ± i ω₁ et ± i ω₂, ce qui conduit à une solution stable oscillante :

telle que celle correspondant au cas des oscillateurs à deux paramètres. Cette étude directe se complique fort pour des équations de degré plus élevé en s².

Ainsi, chaque fois qu'on saura analyser le comportement d'un système de telle sorte qu'il soit régi par des équations différentielles linéaires, on pourra énoncer des conditions nécessaires et suffisantes pour que l'équation Δ_n(s) = 0 ait des racines à partie réelle négative, de telle sorte que les variables de configuration tendront vers zéro au bout d'un temps théoriquement infini, mais pratiquement après un régime transitoire de durée limitée. Lorsqu'un tel système comporte un paramètre physique variable sur lequel on peut agir, il arrive que, dans le schéma linéaire correspondant, pour certains intervalles de variation du paramètre, l'équation Δ_n(s) = 0 admette des racines à parties réelles négatives (phénomène stable) et que, pour un autre intervalle, elle admette au moins une racine à partie réelle positive.

Si la valeur du paramètre appartient à ce dernier intervalle, deux cas se présentent en pratique : ou bien la croissance exponentielle dans le temps des amplitudes des paramètres q, prévue par les équations linéaires, se réalise effectivement, et le système physique est rapidement détruit, ou bien le schéma linéaire n'est plus valable pour une telle valeur du paramètre parce que les causes de croissance résident dans un phénomène qui s'atténue ou s'inverse pour de grandes amplitudes ; dans ce cas, il se produit des oscillations bornées (et même très souvent périodiques puisque toutes les autres racines en s, sauf les deux imaginaires pures opposées ± i ω, conduisent généralement, en des temps très courts, à des fonctions de valeurs numériques arbitrairement petites) : le système fonctionne en oscillateur.