OSCILLATEURS
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Systèmes à plusieurs variables
Oscillateurs à deux paramètres
Encyclopædia Universalis France
Il est rare que l'on puisse schématiser les phénomènes caractérisant un système physique à l'aide d'une seule variable q. Ainsi, par exemple, en mécanique et en électricité, on rencontre les modèles suivants qui sont caractérisés par deux paramètres dont les variations en fonction du temps sont régies par un système de deux équations différentielles.
De manière générale, pour deux variables, on écrit le système différentiel linéaire :
Du fait que q1 et q2 interviennent dans chaque équation de ce système, on dit que les variables sont couplées. On recherche une solution particulière sous la forme :
Dans le cas où les racines sp sont toutes distinctes, la solution générale du système différentiel est :
Si certaines racines sont multiples, l'exponentielle correspondante est multipliée par un polynôme dont le degré est égal à la multiplicité de la racine diminuée d'une unité ; ainsi, dans le cas d'une racine triple, le polynôme sera du second degré.
À titre d'exemple d'intégration, envisageons le cas de deux disques rappelés par des ressorts travaillant en torsion et supposons que I1 = I2 = I, Γ1 = Γ2 = Γ ; les racines en s sont ± iω, ± iω√3, avec ω = √Γ/I, ρ(± iω) = 1, et ρ(± iω√3) = − 1. Les amplitudes de torsion ont pour expressions :
On voit que α1 et α2 ne sont pas des fonctions périodiques du temps, bien qu'elles soient des combinaisons linéaires de fonctions sinusoïdales du temps (mais dont les périodes ne sont pas commensurables, puisque ω2/ω1 = T1/T2 = √3, qui n'est pas un quotient de deux entiers). Dans ce cas, les fonctions α1 et α2 sont bornées. On voit qu'il en sera de même chaque fois que l'équation Δn(s) = 0 n'admettra pas de racine positive ou à partie réelle positive. Or, le théorème de Routh permet d'exprimer très généralement qu'un polynôme en s de degré n (n'admettant pas de parité donnée, c'est-à-dire ni pair, ni impair) a toutes ses racines négatives ou à partie réelle négative ; il se traduit par des règles qui s'appliquent simplement. Soit le polynôme (ni pair, ni impair) :
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Médias
Oscillateurs harmoniques
Encyclopædia Universalis France
Oscillateurs à deux paramètres
Encyclopædia Universalis France
Haut-parleur électrodynamique
Encyclopædia Universalis France
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