PAQUETS D'ONDES

Terme utilisé en théorie de la propagation des ondes pour désigner une superposition d'ondes, en général planes et monochromatiques, de longueurs d'onde et de directions de propagation voisines. Un paquet d'ondes f(x, t) se propageant dans une direction Δx est représenté mathématiquement par l'intégrale de c(k) sin (kx — ωt) prise sur un intervalle k centré en k₀, où c(k)dk est l'amplitude de l'onde composante, de phase ϕ = kx — ωt, de fréquence angulaire ω, de nombre d'ondes k = 2π/λ et de longueur d'onde λ. Les dimensions du paquet sont mesurées par l'extension spectrale (en nombre d'ondes) Dk et par l'extension spatiale Δx, de façon que c(k) et f(x, t) soient négligeables pour k et x n'appartenant pas, respectivement, aux intervalles Δk et Δx. Il existe la relation d'imprécision fondamentale Δk.Δx ≥ 1 ; donc, plus le paquet est étalé dans l'espace, moins il l'est en nombre d'ondes, et vice versa. En général, les composantes du paquet se propagent à des vitesses différentes (dispersion), de sorte que l'extension spatiale Δx n'est pas constante et doit finalement augmenter (après avoir passé éventuellement par un minimum) : il y a étalement progressif du paquet, et cela d'autant plus rapidement que la dispersion est plus forte.

La vitesse de propagation d'un paquet peut être caractérisée de plusieurs manières :

1. Analytiquement, par la vitesse de phase v₁ = ω/k de chaque composante ; dans un milieu dispersif, v₁ dépend de k.

2. Synthétiquement, par la vitesse de groupe v₂ = dω/dk, représentant la vitesse du point x_m du paquet où, par suite de la concordance de phase des composantes (interférence constructive), f(x, t) est maximum ; pour un paquet suffisamment concentré spatialement (ωx est petit), v₂ mesure la vitesse de déplacement en bloc du paquet ; à l'approximation « géométrique » (γ → 0), v₂ représente la « vitesse de propagation des rayons ».

3. Du point de vue de la rapidité de transmission d'un message, par la vitesse de signal v₃ ; elle n'est définie que pour des paquets suffisamment concentrés, pour lesquels v₃ = v₂.

En théorie quantique, l'état le plus général d'une particule libre est décrit par un paquet d'ondes planes monochromatiques « associées » (ondes de De Broglie). La correspondance particule-paquet est régie par les formules hk/2π = p, hω/2π = W, h étant la constante de Planck, p et W = p²2 m, respectivement, l'impulsion et l'énergie de la particule. La relation d'imprécision s'écrit Dp.Dx ≥ h/2π (Heisenberg). La dispersion est « anomale » (ω = hk²/4πm, v₁ = hk/4πm, v₂ = hk/2 πm = 2 v₁), la vitesse de groupe coïncidant avec la vitesse p/m de la particule.

— Viorel SERGIESCO