ERDÖS PAUL (1913-1996)

Mathématicien brillant et hors du commun, lauréat du prix Wolf en 1983.

Né le 26 mars 1913 à Budapest et décédé le 20 septembre 1996 à Varsovie, Paul Erdös fut un enfant prodige et, à l'âge de quatre ans, il savait déjà compter avec des nombres de trois chiffres et avait redécouvert les nombres négatifs. Il fut élevé par ses parents, professeurs de mathématiques, comme un fils unique, ses deux sœurs étant décédées de la scarlatine peu après leur naissance. Sa mère ne l'envoya pas à l'école par crainte de contagion et préféra l'instruire elle-même.

Après avoir soutenu sa thèse de doctorat en mathématiques en 1934, à l'université de Budapest, il alla à Manchester puis aux États-Unis où il séjourna pendant la guerre. Plusieurs membres de sa famille restés en Hongrie furent tués par les nazis.

Dans son premier article, publié en 1932, il redémontre un théorème établi par le russe Pafnoutii Lvovitch Tchebychev un siècle plus tôt : entre un nombre et son double il y a toujours un nombre premier. Sa démonstration est plus simple et plus élégante que celle de Tchebychev. En 1949, il donne avec Atle Selberg une preuve « élémentaire » du théorème des nombres premiers : le nombre de nombres premiers inférieurs à x est équivalent à x / ln (x), lorsque x tend vers l'infini. Ce résultat avait été conjecturé par Carl Friedrich Gauss, et Bernhard Riemann, au milieu du xix^e siècle, montrait le lien entre la distribution des nombres premiers et la fameuse fonction zêta de Rieman.

En 1896, Jacques Hadamard et Charles Jean de La Vallée-Poussin démontraient le théorème des nombres premiers, en utilisant les propriétés de la fonction zêta. Le mathématicien britannique Godfrey Harold Hardy avait déclaré qu'il semblait impossible de donner pour ce théorème une preuve « élémentaire », c'est-à-dire n'utilisant ni les fonctions de variables complexes, ni le calcul intégral. C'est pourtant ce que firent Erdös et Selberg, à l'étonnement général ; mais leur preuve, pour être « élémentaire », n'en demeure pas moins longue et technique.

En 1939, avec le probabiliste Marc Kac, il établit le fameux théorème d'Erdös-Kac qui sera le point de départ de la théorie probabiliste des nombres. Soit ω(n) le nombre de facteurs premiers distincts de n. Une conséquence du théorème d'Erdös-Kac est que la distribution des valeurs de ω(n) pour 1 ≤ n ≤ N suit une loi de Gauss d'espérance mathématique ln ln(N) et d'écart type (ln ln N)^½.

En dehors de la théorie des nombres, Paul Erdös a beaucoup travaillé en analyse combinatoire et grandement contribué au développement de ce domaine des mathématiques. Donnons comme exemple la théorie de Ramsey : deux compagnies aériennes, la rouge et la noire, se partagent les vols entre N aéroports. Entre deux aéroports, il y a un vol régulier assuré par une seule des deux compagnies. Soit m et n deux nombres entiers. Le théorème de Ramsey affirme l'existence d'un nombre r (m, n) tel que, si N ≥ r (m, n), alors ou bien il existe un sous-réseau de m aéroports entièrement reliés par la compagnie rouge ou bien il existe un sous-réseau de n aéroports reliés par la compagnie noire. Le nombre r (m, n) n'est pas connu pour toutes valeurs de m et n, mais Paul Erdös en a donné la majoration : r (m, n) ≤ (m + n−2) ! / (m−1) !(n−1) ! et crée la théorie de Ramsey infinie.

Paul Erdös a écrit mille cinq cents articles, ce qui, sur une période d'activité d'une soixantaine d'années, représente une moyenne de vingt-cinq articles par an, soit environ deux par mois. En dehors des différents domaines de la théorie des nombres et de l'analyse combinatoire, les sujets traités concernent la théorie des ensembles, la théorie des graphes, l'analyse et l'étude des[...]