LÉVY PAUL (1886-1971)

Mathématicien français né et mort à Paris. Ingénieur au corps des Mines, docteur ès sciences en 1912, Paul Lévy enseigna l'analyse à l'École polytechnique de 1920 à 1959, ainsi que l'analyse et la mécanique à l'École nationale supérieure des mines de 1914 à 1951. Il fut élu à l'Académie des sciences en 1964. De 1905 à 1951, il publia dix ouvrages et quelque deux cent soixante-dix articles, dont plus de cent cinquante relatifs au calcul des probabilités, domaine auquel il consacra la plupart de ses recherches. C'est en 1919 que, cherchant une justification théorique à l'emploi de la loi de Laplace-Gauss dans la « théorie des erreurs », Paul Lévy est amené à créer et à employer de nombreux concepts et outils probabilistes qui allaient bouleverser le calcul des probabilités et le transformer en une branche autonome et moderne des mathématiques.

Introduisant une nouvelle définition de la fonction caractéristique d'une variable aléatoire X :

ϕ_X(u) = E(e^iuX),

Paul Lévy établit les liens étroits entre la fonction caractéristique d'une variable et sa loi de répartition (recherche qui devait aboutir au théorème de Bochner). Avec Aleksandr I. Khintchine, il est à l'origine des travaux en « arithmétique des lois de probabilités » : il entrevoit (mais sans le démontrer) le théorème de décomposition d'une variable de Laplace-Gauss en deux variables indépendantes de Laplace-Gauss et énonce certaines de ses conséquences ; il introduit le concept de loi stable ; il pose et résout le problème des lois indéfiniment divisibles, ce qui lui permet de donner une formulation définitive au problème des lois des grands nombres et au théorème central limite.

Définissant une nouvelle fonction, la fonction de concentration, il établit l'équivalence entre la convergence presque sûre, la convergence en probabilité et la convergence en loi pour la suite S_n (où S_n désigne la somme des n premiers termes d'une suite infinie de variables aléatoires indépendantes). Il redécouvre et améliore la loi du logarithme itéré, due à Khintchine, introduit la loi d'Arc sinus. Étudiant les processus stochastiques, il améliore les résultats de Norbert Wiener sur le mouvement brownien linéaire (ou processus de Wiener-Lévy), établit la théorie générale des processus à accroissements indéfinis, introduit le concept de martingale qui le conduit à étudier les processus de Markov.

Parmi ses ouvrages principaux, il faut citer : Leçons d'analyse fonctionnelle (1922), Calcul des probabilités (1925), Théorie de l'addition des variables aléatoires (1937) et Processus stochastiques et mouvement brownien (1948). Sa dernière œuvre, Quelques Aspects de la pensée d'un mathématicien (1970), est une réflexion autobiographique sur la vie et les idées philosophiques du mathématicien.

— Jacques MEYER