PENDULES & MOUVEMENTS PENDULAIRES
On appelle pendule un solide pesant soumis à une liaison rotoïde parfaite ou cylindrique par rapport à un repère de référence quelconque (λ), l'axe du rotoïde ne passant pas par le centre d'inertie G de ce solide (S). Depuis Huygens, la notion de pendule a joué un rôle important dans le développement de la mécanique, d'une part dans la définition des durées égales en chronométrie, d'autre part comme exemple d'application des principes de la dynamique. De plus, on a souvent tendance à dénommer pendule un ensemble de solides animés de mouvements vibratoires assez généraux.
Mouvement pendulaire relatif à un repère galiléen
Étudions d'abord le mouvement d'un seul solide relativement à un repère de référence galiléen (g) et supposons que l'axe du rotoïde soit Ogzg = Oz, faisant avec le plan horizontal du lieu d'expérience un angle β constant (− π/2 < β ≤ π/2). Désignons alors par [O|xs, ys, z]un trièdre, lié au solide (S), dont le plan (zOxs) contient le centre d'inertie G tel que OG = axs + cz, avec a > 0 par choix d'orientation de xs. Si m est la masse de (S) et si l'opérateur d'inertie (I) de (S) en O est représenté dans la base (xs, ys, z) par la matrice suivante :
Alors les équations du mouvement de (S) sont, dans le cas très général,
Ainsi, les équations du mouvement sont, dans les hypothèses indiquées :
Au temps t = 0, α et α′ prennent des valeurs α0 et α′0 que l'on suppose connues ; dans ces conditions, la fonction α(t) se déduit par intégration de la dernière équation ; on calcule ensuite XA, YA, ZA, LA, MA en fonction du temps à l'aide des cinq équations qui précèdent, et le problème est ainsi résolu dans son ensemble.
L'équation différentielle en α s'écrit, en posant ge = g . cos β, où le cas β = π/2 (c'est-à-dire zg vertical) est exclu, et ω2 = mgea/C, où ω est la pulsation et C le moment d'inertie de (S) par rapport à Oz :
On voit que α″0 = − ω2 sin α0 ne peut être nul que si α0 est de sinus nul. Si α′0 = 0, α0 = 0 correspond à un équilibre stable et α0 = π correspond à un équilibre instable. Par intégration, on obtient une équation où les variables se séparent :
Excluant les cas d'équilibre où α′ ≡ 0, on voit que ε = + 1 ou − 1 (ε étant du signe de α′0 si α′0 n'est pas nul et du signe de α0″ si α′0 = 0). La fonction t(α) est donnée par une intégrale elliptique.
L'expression cos α − cos α0 + α′02/2 ω2 doit être positive ; si α′02 > 2 ω2(1 + cos α0), cette expression ne s'annule pour aucune valeur de α, c'est-à-dire que α′ reste du même signe au cours du temps : α varie de manière monotone (croissante ou décroissante) et le solide (S) est animé d'un mouvement révolutif qui n'est pas concerné par cette étude ; si α′02 < 2ω2(1 + cos α0), on peut au contraire poser :
On voit que la période des oscillations du pendule (S) dépend de l'amplitude α1 ; on peut, par développement en série, obtenir l'expression suivante de la période :[...]
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Écrit par
- Michel CAZIN : professeur au Conservatoire national des arts et métiers
Classification
Médias
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