PHYSIQUE Physique et informatique
Les algorithmes
Schématiquement, le choix d'un algorithme dépend non seulement de la géométrie, parallèle ou non, du problème, mais aussi de ses propriétés statistiques. La méthode la plus fréquemment utilisée pour étudier les systèmes en équilibre statistique est la méthode de Monte-Carlo. Pour décrire les processus cinétiques, hors d'équilibre ou non, on distingue, selon la densité du fluide simulé, la méthode de la dynamique moléculaire et les méthodes particulaires. Il y a, bien sûr, des variantes avec recouvrement de ces différentes méthodes. Les équations de la physique mathématique, dont le champ d'application se situe principalement dans le domaine des sciences de l'ingénieur, ont leurs propres algorithmes de résolution, dont le plus important est la méthode des éléments finis, intégrée dans tous les progiciels de conception assistée par ordinateur.
Méthode de Monte-Carlo
La méthode de Monte-Carlo consiste à échantillonner un système dont on connaît l'expression mathématique de la distribution de probabilité des configurations à l'équilibre. Une configuration est définie par un ensemble arbitraire des valeurs de toutes les variables qui décrivent le système. Les propriétés du système sont obtenues en moyennant sur un échantillon de N configurations. Si les configurations sont bien indépendantes, alors l'erreur statistique sur les résultats diminue en proportion inverse de la racine carrée de N. La difficulté est de générer des configurations indépendantes avec une efficacité acceptable. On peut comprendre le nœud du problème ainsi. La distribution de probabilité des configurations d'un système physique comportant un grand nombre de degrés de liberté est en général une fonction de l'énergie d'autant plus piquée que le volume du système est grand. Comme on ne sait générer sur ordinateur de manière directe que des nombres aléatoires ayant une distribution uniforme, il serait très rare d'obtenir des configurations ayant un poids statistique significatif si on faisait naïvement un tirage aléatoire uniforme sur toutes les variables.
L'algorithme le plus répandu est celui de Metropolis. Il comporte deux ingrédients. D'une part, il utilise la connaissance de la fonction de distribution de probabilité. D'autre part, c'est un algorithme local qui modifie tour à tour chacune des variables du système sans briser l'équilibre statistique. Le principe est le suivant. Chaque variable est modifiée à partir d'un tirage aléatoire uniforme, mais cette fois on calcule le rapport des densités de probabilité après et avant la modification. Si ce rapport est supérieur à 1, on accepte la nouvelle variable car elle définit une configuration plus probable. Si le rapport est inférieur à 1, on l'accepte seulement si un nouveau tirage aléatoire uniforme entre 0 et 1 génère un nombre inférieur au rapport. Cette seconde possibilité est très importante. On peut montrer qu'elle permet de converger, sous certaines conditions, vers l'équilibre statistique si on part d'une configuration initiale hors d'équilibre. Autrement, l'algorithme convergerait uniquement vers la configuration la plus probable.
Le principe de l'algorithme de Metropolis est universel et dépasse très largement le cadre de la physique. L'algorithme peut s'appliquer à tout système possédant une distribution de probabilité, que ce soit en chimie, en biologie, en économie ou en finance. Encore faut-il s'assurer de la pertinence du modèle théorique, ce qui est certainement plus facile en physique.
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Écrit par
- Claude ROIESNEL : docteur ès sciences, chargé de recherche au C.N.R.S.
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