FERMAT PIERRE DE (1601-1665)

Calcul infinitésimal

Dès 1629, Fermat, dans sa Méthode de recherche des maximums et des minimums, apparaît comme un précurseur du calcul différentiel. Voici, en langage plus moderne, cette méthode : Si R(x) est une fonction rationnelle de x, l'équation R(x) = K a généralement au moins deux racines a et a + e. Une valeur extrémale de R a lieu pour un x compris entre a et a + e. On développera par rapport à e l'équation R(a) = R(a + e). La racine e = 0 est ainsi mise en évidence. On simplifie par e, puis on fait e = 0. On obtient une équation rationnelle P(a) = 0, dont les racines donnent les extrémums cherchés.

Parmi les applications que Fermat fit de sa méthode, la plus géniale est la détermination des tangentes. Soit P(x, y) = 0 l'équation d'une courbe passant par le point M de coordonnées x₀, y₀. Si y = px + q est l'équation de la tangente en M, Fermat exprime que pour x = x₀, le polynôme P(x, px + q) passe par un extrémum. Il peut ainsi déterminer les coefficients p et q. Cette méthode, qu'il fit connaître en 1638, ne fut pas immédiatement comprise par Descartes. La polémique qui s'éleva à ce sujet entre les deux mathématiciens est une des plus célèbres et des plus dures du xvii^e siècle. Mais les procédés des deux antagonistes, qui, en dernière analyse, reviennent au même, ne pouvaient s'appliquer qu'aux courbes algébriques. En postulant, dès 1640, que l'on doit assimiler un arc infiniment petit de toute courbe avec le segment correspondant de la tangente, Fermat se libère de cette contrainte. G. Roberval ayant, en 1636, soulevé la question des points d'inflexion, il montre que sa méthode des maximums et minimums permet de trouver ces points. Il suffit en effet d'exprimer que la pente de la tangente passe par un extrémum.

Sa contribution à la création du calcul intégral est, elle aussi, considérable. Il est, dès 1636, d'une grande maîtrise dans les méthodes archimédiennes. Il a déjà généralisé la notion de spirale, il a carré la spirale ρ = aω²et il sait carrer les paraboles y = ax^m, pour tout m entier positif. Plus tard, il donne une méthode logarithmique d'intégration qui lui a peut-être été inspirée par les travaux de Roberval et de Torricelli. Elle lui permet la quadrature des paraboles y^p = ax^qet des hyperboles y^px^q = a. Il ébauche un algorithme général d'intégration qui, s'il n'aboutit pas, préfigure les travaux de Newton et de Leibniz et auquel il semble avoir été conduit par les recherches de la jeune génération des Pascal, Wallis, Huygens et de leurs émules.

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Écrit par

Catherine GOLDSTEIN : chargée de recherche au C.N.R.S., université de Paris-Sud, Orsay
Jean ITARD : agrégé de l'Université, membre correspondant de l'Académie internationale d'histoire des sciences
Encyclopædia Universalis : services rédactionnels de l'Encyclopædia Universalis

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