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POLYNÔMES

La théorie des équations et des polynômes a été le propos essentiel de l'algèbre jusqu'au xixe siècle (cf. équations algébriques, algèbre) et est à la base de la théorie des corps et de la théorie des nombres algébriques. Nous nous sommes limités ici à une construction formelle des objets mathématiques considérés, qui fait apparaître, sous le vocable « polynômes », l'existence de deux notions distinctes : les polynômes formels et les fonctions polynomiales. Cet article élémentaire pourra aussi servir d'introduction au maniement des notations abstraites.

Polynômes formels

La notion de polynôme est familière, mais on s'est contenté pendant fort longtemps de décrire des règles de calcul sans définir véritablement les objets mathématiques considérés. On trouve couramment des définitions comme : « Un monôme entier en la variable x est une expression de la forme Axn, A étant un coefficient numérique et n un entier positif » ; « Un polynôme en la variable x est une somme qui ne peut être composée (sic) que de nombres et de monômes entiers ». Puis suit l'énumération des règles de calcul sur ces objets.

La construction des polynômes donnée ici illustre, dans le cadre simple de l'algèbre élémentaire, la manière dont le mathématicien formalise, en suivant une voie qui peut sembler a priori déroutante, voire artificielle, certaines notions tenues pour « évidentes » ou « intuitives ».

Définition

Soit A un anneau commutatif unitaire. On appelle polynôme à une indéterminée (cette terminologie sera justifiée plus loin) à coefficients dans A toute suite :

d'élément de A nuls sauf au plus un nombre fini d'entre eux (c'est-à-dire tous nuls à partir d'un certain rang). Les éléments ai sont les coefficients du polynôme P.

Les polynômes étant définis comme des cas particuliers de suites (c'est-à-dire d'applications de l'ensemble N des entiers naturels dans A), deux tels polynômes sont donc égaux si et seulement s'ils ont les mêmes coefficients.

Anneau des polynômes

Nous allons maintenant définir formellement l'addition et la multiplication. Soit :

deux polynômes à coefficients dans A. On appelle somme et produit de P et Q respectivement les polynômes :
et :
avec :

Il est facile de vérifier que l'ensemble des polynômes considérés est ainsi muni d'une structure d'anneau commutatif unitaire ; nous désignerons provisoirement cet anneau par L. On va montrer qu'on peut « identifier » A à un sous-anneau de l'anneau L en remarquant pour cela que l'application :

est un isomorphisme d'anneau de A sur le sous-anneau A′ de L formé des polynômes dont tous les coefficients de rang ≥ 2 sont nuls. Il est donc équivalent de « calculer » dans A ou de faire ces calculs sur les éléments correspondants de A′, et nous identifierons ces deux anneaux en utilisant l'écriture abrégée :
pour tout a ∈ A. Pour cette raison, les éléments de A′ sont appelés des constantes, ou des polynômes constants.

Remarquons que, si a est un polynôme constant et P un polynôme quelconque, la multiplication de P par a revient à multiplier tous les coefficients de P par a. Dans le cas où A est un corps, cette « multiplication scalaire » (a, P) ↦ aP munit l'anneau des polynômes à coefficients dans A d'une structure d'algèbre commutative sur le corps A.

Notion d'indéterminée

Désignons par X le polynôme :

dont tous les coefficients sont nuls, sauf le second coefficient, qui est égal à l'élément 1 de l'anneau A. Il résulte de la définition (2) de la multiplication que l'on a :
et, plus généralement, pour tout entier n > 0,
où δij est le symbole de Kronecker (égal à 1 si i = j et à 0 si i ≠ j). Si on a :
avec ap = 0 pour p > n et an ≠ 0, on obtient[...]

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Écrit par

  • : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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