ORTHOGONAUX POLYNÔMES

C'est à travers l'étude de certains problèmes d'analyse fonctionnelle (équations intégrales, séries de Fourier, problème de Sturm-Liouville et, plus généralement, problèmes aux limites dans les équations aux dérivées partielles) qu'est apparue la notion de système orthogonal de fonctions. Ces problèmes amènent à considérer des espaces hermitiens constitués de fonctions et à déterminer les valeurs propres et les fonctions propres (cf. théorie spectrale) de certains endomorphismes de ces espaces. Dans le cas d'un opérateur hermitien, les sous-espaces propres sont orthogonaux deux à deux. Le problème essentiel consiste alors à chercher des bases hilbertiennes constituées de fonctions propres.

Équation intégrale de Fredholm

Soit E un ensemble muni d'une mesure positive μ et k une fonction de carré intégrable sur E × E. Pour toute fonction f de carré intégrable sur E et pour presque tout élément x de E, la fonction y ↦ k (x, y) f (y) est intégrable sur E et la fonction g, définie presque partout par la formule :

Pour résoudre l'équation intégrale (1), on décompose le second membre h dans la base hilbertienne précédente :

Pour que :

En particulier, lorsque λ n'appartient pas à sp(U_k) ∪ {0}, l'équation (1) admet une solution et une seule. Lorsque λ ∈ sp(U_k) ∪ {0}, pour que (1) admette une solution, il faut et il suffit que h soit orthogonale au sous-espace vectoriel E_λ. Enfin, lorsque λ = 0, pour que (1) admette une solution, il faut et il suffit que h soit orthogonale au noyau de U_k et que :

On notera que les séries précédentes convergent en moyenne quadratique. E. Schmidt (1907) et T. Mercer (1909) ont trouvé des conditions assez larges sous lesquelles la convergence est uniforme.

La théorie spectrale d'opérateurs hermitiens plus généraux conduit encore à des théories analogues. Signalons le cas des séries de Fourier (cf. analyse harmonique, espace de hilbert) et celui des fonctions sphériques (cf. groupes - Groupes de Lie). Nous allons nous borner ici à un cas particulièrement simple.