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ORTHOGONAUX POLYNÔMES

Polynômes orthogonaux

Soit I un intervalle de R non réduit à un point et p une fonction à valeurs réelles continue sur I, telle qu'en tout point x intérieur à I, p (x) > 0. Soit CI(p) l'espace vectoriel des fonctions f à valeurs complexes continues sur I telles que :

On munit CI(p) du produit hermitien :

L'espace hermitien CI(p) n'étant pas complet, on est amené à le considérer comme un sous-espace vectoriel L2I(p) des classes de fonctions f mesurables sur I à valeurs complexes et telles que :

Muni du produit hermitien précédent, L2I(p) est un espace hilbertien.

Plaçons-nous dans l'un des deux cas suivants :

a) L'intervalle I est borné et p est intégrable sur I, c'est-à-dire que :

b) L'intervalle I est non borné, p est intégrable sur I et à décroissance rapide à l'infini, c'est-à-dire que, pour tout entier n,

Les fonctions monomiales en :x ↦ xn appartiennent alors à CI(p). La suite (Pn) des fonctions polynomiales déduite de la famille (en) par orthonormalisation est appelée système de polynômes orthogonaux sur I associé au poids p ; pour tout entier naturel n, la suite (Pn) est un polynôme à coefficients réels de degré n, et le coefficient dominant de (Pn) est strictement positif.

Réciproquement, soit (Qn) une suite orthogonale de polynômes à coefficients complexes telle que, pour tout entier n, le polynôme Qn soit de degré n. Pour tout entier n, il existe un nombre complexe λn et un seul tel que Qn = λnPn ; plus précisément :

En utilisant le fait que Pn est orthogonal à tout polynôme de degré inférieur ou égal à n − 1, on prouve facilement les résultats suivants :

Pour tout entier naturel non nul n, il existe un triplet (αn, βn, γn) de nombres réels et un seul tel que :

(formule de récurrence linéaire à deux termes) ; en outre, αn est strictement positif et γn strictement négatif.

Toutes les racines de Pn sont réelles, simples et intérieures à I et, pour tout entier naturel non nul n, les racines de Pn séparent celles de Pn+1.

Enfin, lorsque l'intervalle I est symétrique par rapport à 0 et que la fonction p est paire, le polynôme Pn est pair si n est pair, impair si n est impair, et βn = 0.

Il reste à examiner si la suite (Pn) est une base hilbertienne ou, ce qui revient au même, si le sous-espace vectoriel engendré par les fonctions en est dense dans CI(p).

Lorsque l'intervalle I est borné, il en est toujours ainsi ; cela résulte du théorème d'approximation de Weierstrass et du fait que, sur un intervalle borné, la convergence uniforme implique la convergence dans CI(p).

Lorsque l'intervalle I n'est pas borné, il peut arriver que (Pn) ne soit pas une base hilbertienne, par exemple si p (x) = exp (−|x|α), où α ∈ ]0, 1[. Cependant, lorsque p est à décroissance exponentielle, c'est-à-dire lorsque p est dominée par une fonction de la forme x ↦ exp (− α|x|), où α > 0, au voisinage de ± ∞, la suite est une base hilbertienne de L(2I p) et a fortiori de CI(p). En effet, tous les moments Mn = (f|en) d'un élément f de L2I(p) orthogonal aux polynômes Pn sont nuls. D'autre part, la décroissance exponentielle du poids p permet de prouver que la bande de convergence de la transformée de Laplace de fp est non vide. On en déduit alors que fp est nulle presque partout et que f est nulle presque partout. Le problème de la recherche de conditions portant sur p pour que la suite (Pn) soit une base hilbertienne (problème de Bernstein) est assez délicat ; il a fait l'objet de travaux de A.  Denjoy (1922) et de T. Carleman (1932) et, plus récemment, de W. Pollard (1956) et de J.-P. Ferrier (1965), qui ont obtenu des conditions nécessaires et suffisantes.

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Écrit par

  • : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

Classification

Autres références

  • HERMITE CHARLES (1822-1901)

    • Écrit par
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    ...découvrit la « loi de réciprocité » entre covariants de formes binaires de degrés différents. On lui doit aussi un procédé d'interpolation améliorant la méthode de Lagrange en tenant compte des valeurs des dérivées premières, et la découverte de la famille de polynômes orthogonaux qui portent son nom.
  • HILBERT ESPACE DE

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    ...∈ N, par orthonormalisation est constituée de fonctions polynomiales, en étant de degré n. La famille (en) s'appelle système de polynômes orthogonaux associé au poids p sur l'intervalle I. Lorsque l'intervalle I est borné, (en), n ∈ N, est une base hilbertienne de C(I, ...