ORTHOGONAUX POLYNÔMES

Équations différentielles des polynômes orthogonaux

Soit I = [α, β] un intervalle compact de R, a et b deux fonctions à valeurs réelles indéfiniment dérivables sur I, la fonction a ne s'annulant pas sur l'intérieur de I et admettant un zéro simple aux points α et β. On considère l' équation différentielle :

où λ est un nombre complexe. De telles équations interviennent, par exemple, dans les problèmes de Sturm-Liouville. Les solutions de (1) sont les fonctions propres de l'endomorphisme U : f ↦ af″ + bf′ de l'espace vectoriel E des fonctions indéfiniment dérivables sur I. Pour étudier l'équation (1), on introduit sa fonction résolvante, c'est-à-dire une fonction r à valeurs réelles strictement positives, définie sur l'intérieur de I vérifiant l'équation différentielle :alors :

Supposons que les nombres :

soient réels strictement positifs. Dans ce cas, (x − α)^− μr(x)a(x) admet une limite finie non nulle au point α et (β − x)^− υr(x)a(x) admet une limite finie non nulle au point β. Par suite, pour tout couple (f, g) d'éléments de E, la fonction rfḡ est intégrable sur I.

On peut donc définir un produit hermitien sur E par la formule :

L'endomorphisme U est alors hermitien ; plus précisément :

Dans beaucoup de cas intervenant en pratique, on peut déterminer une base hilbertienne de E constituée de vecteurs propres de U. Nous nous contentons ici d'examiner le cas où a et b sont des fonctions polynomiales de la forme suivante :

Pour tout entier naturel n, le sous-espace vectoriel E_n de E constitué des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n est stable par U. Les conditions μ > 0 et ν > 0 sont équivalentes aux conditions αγ + δ > 0 et βγ + δ > 0. De plus :

est une résolvante de U. Le système (P_n) de polynômes orthogonaux associé au poids r est une base hilbertienne de E constituée de fonctions propres de U ; plus précisément :

Les polynômes P_n s'appellent polynômes de Jacobi. Dans le cas où μ = ν = 1, on trouve les polynômes de Legendre ; dans le cas où μ = ν = 1/2, on trouve les polynômes de Tchebichev, ainsi que dans le cas où μ = ν = 3/2.

Soit maintenant I un intervalle de la forme [α, + ∞[. On suppose cette fois que les fonctions a et b, ainsi que toutes leurs dérivées, sont des éléments de l'espace vectoriel E des fonctions à croissance lente au voisinage de + ∞, et on considère U comme un endomorphisme de E. On suppose que μ = b(α) / a′(α) > 0 et que, d'autre part, b(x) / a(x) admet une limite strictement négative ν, finie ou infinie, lorsque x tend vers + ∞. Pour tout couple (f, g) d'éléments de E, la fonction rfḡ est alors intégrable sur I, et U est encore hermitien pour le produit hermitien précédemment défini. Lorsque a(x) = x − α et que b(x) = γx + δ, avec γ ≠ 0, les conditions μ > 0 et ν < 0 sont équivalentes aux conditions γ < 0 et γα + δ > 0. De plus,

est une résolvante de x. Le système (P_n) de polynômes orthogonaux associé au poids r est une base hilbertienne de E constituée de fonctions propres de U ; plus précisément :les polynômes P_n s'appellent polynômes de Sonine ; dans le cas où μ = 1, on trouve les polynômes de Laguerre.

Examinons enfin le cas où I = R ; on suppose que les fonctions a et b, ainsi que toutes leurs dérivées, sont des éléments de l'espace vectoriel E des fonctions à croissance lente au voisinage de ± ∞, et on considère U comme un endomorphisme de E ; on suppose de plus que b(x) / a(x) admet des limites μ > 0 et ν < 0, finies ou infinies, lorsque x tend vers − ∞ et vers + ∞. La théorie se poursuit alors comme dans les cas précédents. Lorsqu'on a[...]