ORTHOGONAUX POLYNÔMES
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Fonctions génératrices des polynômes orthogonaux
Les polynômes orthogonaux Pn précédemment introduits peuvent se calculer de la manière suivante : de la relation (ra)′ = rb, on déduit, par récurrence sur n, que :
Soit x un point de I, et ρ un nombre réel strictement positif tel que le cercle Γ de centre x et de rayon ρ soit d'indice 0 par rapport à α et β. Pour tout nombre complexe u tel que |u| sup |a(ζ)| < ρ,
Dans le cas des polynômes de Legendre réduits, c'est-à-dire le cas où a(x) = x2 − 1 et où b(x) = 2 x, on peut prendre r = 1 ; le polynôme Qn satisfait alors à l'équation différentielle :
De même, la fonction génératrice des polynômes de Laguerre réduits, c'est-à-dire dans le cas où a(x) = x et où b(x) = 1 − x, est :
Enfin, la fonction génératrice des polynômes d'Hermite réduits, c'est-à-dire dans le cas où a(x) = 1 et b(x) = − 2x, est :
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Écrit par
- Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales
Classification
Autres références
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HERMITE CHARLES (1822-1901)
- Écrit par Jean DIEUDONNÉ
- 1 169 mots
...découvrit la « loi de réciprocité » entre covariants de formes binaires de degrés différents. On lui doit aussi un procédé d'interpolation améliorant la méthode de Lagrange en tenant compte des valeurs des dérivées premières, et la découverte de la famille de polynômes orthogonaux qui portent son nom. -
HILBERT ESPACE DE
- Écrit par Lucien CHAMBADAL et Jean-Louis OVAERT
- 3 232 mots
...∈ N, par orthonormalisation est constituée de fonctions polynomiales, en étant de degré n. La famille (en) s'appelle système de polynômes orthogonaux associé au poids p sur l'intervalle I. Lorsque l'intervalle I est borné, (en), n ∈ N, est une base hilbertienne de C(I, ...
Voir aussi
