ORTHOGONAUX POLYNÔMES

Fonctions génératrices des polynômes orthogonaux

Les polynômes orthogonaux P_n précédemment introduits peuvent se calculer de la manière suivante : de la relation (ra)′ = rb, on déduit, par récurrence sur n, que :

où Q_n est une fonction polynomiale de degré n. Par intégrations par parties, on prouve que, pour tout entier n, Q_n est proportionnel à P_n : c'est la formule de Rodrigues. De plus, la résolvante r peut se prolonger en une fonction holomorphe sur C − {α, β}. La formule intégrale de Cauchy permet alors d'établir la formule de Schläffli :

où z ∈ C − {α, β} et où Γ est un cercle d'indice 0 par rapport à α et β. On en déduit le résultat suivant (fonction génératrice des polynômes orthogonaux).

Soit x un point de I, et ρ un nombre réel strictement positif tel que le cercle Γ de centre x et de rayon ρ soit d'indice 0 par rapport à α et β. Pour tout nombre complexe u tel que |u| sup |a(ζ)| < ρ,

où w est le seul élément du disque ouvert de centre x et de rayon ρ tel que :

Dans le cas des polynômes de Legendre réduits, c'est-à-dire le cas où a(x) = x²− 1 et où b(x) = 2 x, on peut prendre r = 1 ; le polynôme Q_n satisfait alors à l'équation différentielle :

d'où :

et :

lorsque |u| < 1/6, cette série converge uniformément sur [− 1, 1].

De même, la fonction génératrice des polynômes de Laguerre réduits, c'est-à-dire dans le cas où a(x) = x et où b(x) = 1 − x, est :

Enfin, la fonction génératrice des polynômes d'Hermite réduits, c'est-à-dire dans le cas où a(x) = 1 et b(x) = − 2x, est :

— Jean-Louis OVAERT

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Écrit par

Jean-Louis OVAERT : agrégé de l'Université, ancien élève de l'École normale supérieure, professeur de mathématiques spéciales

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