POLYNÔMES

Fonctions polynomiales

À l'exception de tout ce qui concerne les racines, les résultats qui seront énoncés dans le présent chapitre s'étendent facilement au cas des polynômes à plusieurs indéterminées ; nous nous contenterons de les énoncer pour les polynômes à une indéterminée.

Fonction polynomiale associée à un polynôme formel

Soit A un anneau commutatif unitaire et :

un élément de A[X] écrit sous la forme (3). On appelle valeur de P sur un élément x ∈ A l'élément :

et fonction polynomiale associée à P l'application P* : A → A définie par P*(x) = P(x) ; dans la pratique, on désigne encore par P cette fonction polynomiale.

Les fonctions polynomiales, c'est-à-dire les applications de A dans A pouvant s'obtenir à partir des éléments de A[X], forment un anneau commutatif unitaire, et l'application de K[X] dans cet anneau qui à tout polynôme formel associe la fonction polynomiale correspondante est un homomorphisme (par définition surjectif) d'anneaux. Si A est un anneau d'intégrité infini, cet homomorphisme est en fait un isomorphisme, c'est-à-dire que deux polynômes P et Q ∈ A[X] sont égaux si et seulement si P(x) = Q(x) pour tout x ∈ A. Pour obtenir un contre-exemple, il suffit de prendre pour A le corps fini }0, 1, 2{ des classes d'entiers modulo 3 ; le polynôme non nul :

prend la valeur 0 en tout point de A.

Remarque

Soit L un sur-anneau de l'anneau A. La formule (8) permet de définir P(x) pour tout x ∈ L et de définir ainsi une application polynomiale, dite encore associée à P, de L dans L. Cette remarque va nous permettre de préciser un point de notation. Prenons pour L le sur-anneau A[X] ; si Q ∈ A[X], la notation P(Q) désigne un élément de A[X] qui s'obtient en « substituant Q à X » et en développant les puissances de Q obtenues, en tenant compte des règles de calcul dans A[X]. Si on prend, en particulier, Q = X, on obtient le polynôme P lui-même, soit P(X) = P, ce qui nous permet d'utiliser indifféremment, pour désigner un polynôme, la notation P ou la notation P(X).

Prenant l'anneau A[X, Y] des polynômes à deux indéterminées pour sur-anneau, on peut donc définir P(X + Y) ∈ A[X, Y] pour tout P ∈ K[X]. La « formule de Taylor » s'écrit ici, si P est de degré n,

où les dérivations qui figurent sont les dérivées formelles définies au chapitre 1.

Racines

Soit P ∈ A[X] et a un élément de A. La division euclidienne de P par X − a s'écrit :

avec d⁰(R) < d⁰(X − a) = 1 ; donc R est un polynôme constant. Prenant les valeurs des deux membres en a, on a P(a) = R, d'où l'égalité :

On dit que l'élément a ∈ A est une racine du polynôme P si P(a) = 0. D'après (9), cela équivaut à avoir P divisible par le polynôme du premier degré X − a. On appelle ordre de mulplicité de la racine a le plus grand entier h tel que (X − a)^h divise P ; ainsi, dire que a est racine d'ordre k du polynôme P équivaut à affirmer : P = (X − a)^kQ, l'élément a n'étant pas racine du polynôme Q.

Nous renvoyons aux articles corps et équations algébriques pour une étude détaillée des racines dans le cas où A est un corps commutatif. Terminons sur un résultat valable pour les anneaux d'intégrité : Si A est un anneau d'intégrité (unitaire) et si P ∈ A[X] est de degré ≤ n, P ≠ 0, la somme des ordres de multiplicité de P dans A est ≤ n. Il en résulte que, si P et Q ∈ A[X] sont tous deux de degré ≤ n et prennent des valeurs égales sur n + 1 éléments de A, alors P = Q.

Si K est un corps, on en déduit qu'il existe un polynôme de degré n et un seul prenant des valeurs données b_i ∈ K sur n éléments distincts donnés a_i ∈ K, i = 1, ..., [...]

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Écrit par

Jean-Luc VERLEY : maître de conférences honoraire à l'université de Paris-VII

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