PRIX ABEL 2016

Le 15 mars 2016, l’Académie norvégienne des sciences et des lettres a décerné le prix Abel 2016 au mathématicien anglais Andrew John Wiles « pour avoir démontré de manière éclatante le dernier théorème de Fermat par le biais de la conjecture de modularité pour les courbes elliptiques semi-stables, ouvrant ainsi une nouvelle ère dans la théorie des nombres ».

Wiles est né le 11 avril 1953 à Cambridge. Après des études au Merton College d’Oxford et au Clare College de Cambridge (doctorat en 1980), il rejoint l’université Harvard (Massachusetts) puis celle de Princeton (New Jersey) en 1982, avant de revenir à celle d’Oxford en 2011.

Ses travaux portent entre autres sur la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil (STW) – toute courbe elliptique sur le corps des nombres rationnels est modulaire –, qu’il démontre en 1999. Une courbe elliptique est un cas particulier de courbe possédant la propriété de l’addition géométrique sur tous ses points.

La conjecture de Shimura-Taniyama-Weil

L’équation d’une courbe elliptique peut être mise sous une forme simple : y² = x³ + ax² + bx + c, où a, b et c sont des réels.

Prenons l’exemple de y² = x³ + 5x² + 6x + 5 dont on peut tracer le graphe dans le plan cartésien (x,y). Si l’on trace une droite sécante à cette courbe, elle coupe cette dernière en deux points, P et Q, et, dans l’exemple choisi, elle la recoupe en un troisième point, R (il y a d’autres cas où la courbe est tangente, verticale). On définit l’addition géométrique de deux points P et Q comme le point R’, symétrique de R par rapport à l’axe des abscisses x. R’ appartient évidemment à la courbe comme on peut le vérifier aisément. Cela ne signifie pas que la somme des vecteurs $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{OQ}$ égale le vecteur $\overrightarrow{OR\mathrm{\text{'}}}$. On appelle « addition » cette opération parce qu’elle partage les propriétés fondamentales de l’addition des nombres, en particulier parce qu’elle donne une structure de groupe mathématique à l’ensemble des points de la courbe. Ces courbes elliptiques ont de multiples applications : en cryptologie, en mécanique classique pour certains mouvements de rotation, en théorie des nombres, etc.

Pour ce qui est des formes modulaires, on peut dire très schématiquement que ce sont des fonctions analytiques qui respectent certaines conditions exprimées par certaines équations fonctionnelles – un exemple étant f[(az + b)/(cz + d)] = (cz + d)² f(z) pour tout z complexe ; a, b, c et d étant des nombres vérifiant ad – bc = 1. Le Japonais Yukata Taniyama observa une étonnante similarité entre la série de nombres associée à une forme modulaire et celle associée à une courbe elliptique (suite de nombres représentant les solutions possibles). Aidé par son compatriote Gorō Shimura et par le mathématicien français André Weil, il énonça la conjecture de modularité suivante : « Pour chaque fonction elliptique, il existe une forme modulaire correspondante. »