PRIX ABEL 2016

La démonstration de Wiles

Mais quel est le lien entre les courbes elliptiques et la conjecture de Fermat ?

En 1984, le mathématicien allemand Gerhard Frey présenta un résultat crucial en réécrivant l’équation de Fermat xⁿ + yⁿ = zⁿ sous la forme d’une fonction elliptique (qualifiée de semi-stable car elle peut s’inscrire sous plusieurs formes avec des conditions aux limites différentes). Sa démarche se fit par un raisonnement connu en mathématiques et dit « par l’absurde » : si la conjecture de Fermat est fausse, il est possible de réécrire l’équation sous la forme d’une courbe elliptique qui n’a pas d’équivalent modulaire, et donc la conjecture de STW serait, elle aussi, fausse. À l’inverse, si on prouve la conjecture de STW, on montre directement que la conjecture de Fermat est correcte.

Wiles est fasciné par la conjecture de STW dès l’âge de dix ans ! À Harvard et à Princeton, il travaille sur divers travaux portant sur la théorie des nombres, et principalement sur la conjecture des Japonais et du Français. Wiles s’appuie sur les travaux de ses prédécesseurs et, en 1993, après des années de recherche, il présente pour la première fois ses résultats à l’université anglaise de Cambridge : ModularForms, ellipticcurves and Galois representations. La démonstration du dernier théorème de Fermat fait l’effet d’une bombe dans le monde mathématique, et bien au-delà, car elle est fort médiatisée. Wiles ne fut pas récompensé par la médaille Fields car il venait de dépasser quarante ans, âge limite pour recevoir cette récompense, mais il eut bien d’autres prix, dont le prix Wolf en 1996, et le prix Abel vingt ans plus tard. Mais l’analyse profonde de la démonstration montre encore quelques lacunes dans les résultats qu’il a exposés. Aidé par son ancien élève Richard Taylor, il résout ses dernières erreurs ou incertitudes et, en 1995, apporte la preuve définitive dans un article intitulé « Modular Elliptic Curves and Fermat’s last Theoreme », qui paraît dans la revue Annals of Mathematics (vol. 141, n^o 3), trois cent cinquante ans après l’énoncé de la conjecture de Fermat.