QUADRIQUES
Les surfaces de l'espace matériel, que nous connaissons par leur emploi, en architecture par exemple, étaient autrefois classées en « corps ronds » et « corps droits ». La sphère et le cube sont des surfaces typiques de ces deux familles.
Sphères, cylindres et cônes
Encyclopædia Universalis France
Les corps ronds sont, essentiellement, la sphère déjà citée, le cylindre et le cône usuels. Étudiées individuellement, ces surfaces semblent n'avoir que peu de points communs : l'une est bornée, les deux autres ne le sont pas. Le cône possède un point remarquable (son sommet), alors que le cylindre est totalement homogène. Il est toutefois bien connu que les intersections de ces trois surfaces par des plans sont toujours des coniques, éventuellement dégénérées en couples de droites. L'adjectif conique, c'est-à-dire dessiné sur un cône, est à l'origine du nom donné à ces courbes.
Les propriétés très remarquables des coniques, qui constituent l'ensemble le plus riche de courbes simples, avaient conduit les Grecs à unifier partiellement les définitions et les démonstrations propres à chacune d'elles (ellipse, parabole et hyperbole). Seule la géométrie analytique cartésienne, pourtant, a permis de donner des coniques la définition essentielle : ce sont les courbes algébriques du second ordre, c'est-à-dire les ensembles de points dont les coordonnées (x, y) satisfont à une égalité de la forme :
La généralisation de cette notion à l'espace de dimension trois est alors évidente. Les surfaces ainsi définies sont appelées quadriques. Leurs sections planes sont des coniques ; et cela les caractérise évidemment parmi les surfaces algébriques.
Cadre naturel de la théorie
Extensions diverses
Une quadrique est un ensemble de points satisfaisant à une égalité de la forme suivante où l'un au moins des six premiers coefficients n'est pas nul :
Certaines complications dans la théorie de ces surfaces conduisirent les mathématiciens du xixe siècle à étendre, dans deux directions différentes, la notion de quadrique et des autres surfaces algébriques. Non seulement ils firent un usage systématique des coordonnées complexes, enrichissant ainsi considérablement le modèle mathématique issu des corps de l'espace matériel, mais ils élargirent le concept de point en considérant des « éléments à l'infini » par l'introduction d'une quatrième coordonnée t, nulle pour les nouveaux points.
Pour ces géomètres, une quadrique était donc finalement déterminée par une équation de la forme :
Les « points » de ces quadriques sont, en réalité, non des points d'un espace classique (dit affine, de dimension trois sur le corps des nombres réels), mais des droites d'un espace vectoriel de dimension quatre sur le corps des nombres complexes. L'ensemble de ces droites, c'est-à-dire des sous-espaces vectoriels de dimension 1, est appelé le projectifié complexifié de l'espace usuel.
Cette extension donna une grande unité aux théorèmes : ainsi, une droite arbitraire coupe toujours une quadrique en un point au moins. Dans ce cadre, une théorie fort élégante de la polarité, directement généralisée à partir de considérations analogues sur les coniques, conduit à un grand nombre de propriétés (sur les plans tangents, par exemple), pour lesquelles on n'est plus tenu de distinguer un grand nombre de cas.
Quadriques et formes quadratiques
Ce passage d'un espace affine à un espace projectif – au prix d'une augmentation de la dimension – permit surtout de placer la théorie des quadriques dans son véritable cadre : celui des formes quadratiques. Conformément[...]
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Écrit par
- André WARUSFEL : universitaire
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Sphères, cylindres et cônes
Encyclopædia Universalis France
Cônes réels
Encyclopædia Universalis France
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Encyclopædia Universalis France
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