QUADRIQUES

Ellipsoïdes

Les ellipsoïdes, par un changement d'axes approprié, peuvent se mettre sous la forme :

Les sections planes d'un ellipsoïde sont en général des ellipses, réelles ou non.

Hyperboloïdes

Les hyperboloïdes ont une équation que l'on peut mettre sous l'une des deux formes suivants :

Le premier cas est celui de l'hyperboloïde à une nappe , qui est une surface connexe évoquant la forme d'une bobine. On peut le considérer, de deux façons différentes, comme réunion d'une famille de droites, les génératrices. Une affinité convenable, qui revient à égaler les coefficients a et b, le transforme en hyperboloïde de révolution, engendré par la rotation d'une droite autour d'une droite qu'elle ne rencontre pas.

Les sections planes sont des coniques de toutes espèces ; un plan tangent coupe l'hyperboloïde suivant deux droites sécantes, qui le séparent en deux parties situées de chaque côté de ce plan.

Le second cas est celui de l'hyperboloïde à deux nappes , qui admet deux nappes disjointes, connexes, limitant deux volumes convexes. Les génératrices d'une telle surface ne sont pas réelles, sauf éventuellement en leur point commun.

Paraboloïdes

Les paraboloïdes ont une équation que l'on peut mettre dans l'une des deux formes suivantes :

Si p et q sont de même signe, le paraboloïde est elliptique , de révolution si p = q. Une affinité convenable peut toujours mettre le paraboloïde sous cette forme ; la surface résulte alors de la rotation d'une parabole autour de son axe.

Les sections planes sont des paraboles ou des ellipses. Dans le cas d'un paraboloïde de révolution, une section plane se projette sur un plan orthogonal à l'axe suivant une droite ou un cercle.

Si p et q sont de signes différents, le paraboloïde est hyperbolique . C'est une surface assez remarquable, dont la forme évoque celle d'une selle de cheval.

Une quadrique propre possède, comme nous l'avons vu à propos de l'hyperboloïde à une nappe, un double système de génératrices. Dans le cas du paraboloïde hyperbolique, les génératrices passant par un point réel sont réelles ; elles séparent la surface en deux parties situées de part et d'autre du plan tangent. Les sections planes sont des paraboles ou des hyperboles.

Le paraboloïde hyperbolique possède de nombreuses définitions géométriques très simples. Citons-en deux :

– Si l'on se donne trois droites soumises à la seule condition d'être parallèles à un même plan, une droite variable qui rencontre ces trois droites engendre un paraboloïde hyperbolique ;

– Si l'on se donne deux droites quelconques, une droite variable qui les rencontre toutes les deux et reste parallèle à un plan donné engendre un paraboloïde hyperbolique.

Les plans apparaissant dans l'une ou l'autre de ces définitions sont appelés plans directeurs de la surface. Il en existe deux, définis chacun à une translation près.

Les ellipsoïdes[...]