QUANTIFICATION, logique

Notion usitée en logique des prédicats. On peut, avec W. V. O. Quine, diviser en trois la logique contemporaine :

1. La théorie des fonctions de vérité a pour objet les structures logiques engendrées en construisant des propositions composées à partir de propositions simples, à l'aide des particules « et », « ou », « non », « si..., alors... » ; on l'appelle aussi calcul des propositions.

2. La théorie de la quantification intervient lorsqu'on analyse les propositions et qu'on prend en considération des particules comme « tous », « un quelconque », « quelques ».

3. La théorie de l'appartenance introduit la considération d'ensembles et de leurs éléments.

La proposition catégorique classique était analysée en sujet-copule-prédicat. Ce qu'on appelait quantité portait sur le sujet : ainsi, « tout homme » ou « tous les hommes » apparaît dans une proposition universelle ; « quelque homme » ou « quelques hommes » dans une proposition particulière. La logique moderne substitue à cette analyse l'analyse selon les éléments : prédicats, variables d'individus, quanteurs. Au lieu de dire : « les hommes sont mortels », on dira à peu près : « être un homme implique être mortel », où « être un homme » et « être mortel » sont au même titre des prédicats (disparition du sujet comme tel). Et si l'on veut dire : « tous les hommes sont mortels », on utilisera le quanteur universel, soit, en langage intuitif : « pour toute chose, si elle est un homme, alors elle est mortelle » ; soit alors, en notation symbolique : (x) (Hx ⊃ Mx). Les variables comme x figurent dans des places de noms et de pronoms. Le quanteur existentiel ∃ y peut transcrire la proposition particulière classique ; surtout, il spécifie que : « il y a quelque chose y tel que... », « il existe quelque chose y tel que... », etc. (dans une élaboration ultérieure, on précise en disant : « il existe un y et peut-être plusieurs », ou : « il existe un et au plus un y tel que... »). Quand il n'y a plus de quanteur, on a un énoncé ouvert, une expression qui n'est pas une proposition mais un fragment de proposition, et qui devient une proposition dès qu'on ajoute le quanteur. Par exemple, Fx, Gx correspondent intuitivement à « être un félin », ou « est un félin », « être un guépard », etc., c'est-à-dire à des fragments de proposition. Une variable qui apparaît dans un quanteur est dite liée ; les occurrences d'une variable non liée par un quanteur sont dites libres.

Notons que tout peut être exprimé à l'aide du quanteur existentiel et de la négation. « Tout est beau » devient : « il n'y a rien qui ne soit beau », ou : ~  (∃ x) ~  Bx. La quantification universelle peut paraître alors redondante. Notons encore l'analogie étroite, d'une part, entre quantification universelle et conjonction, d'autre part, entre quantification existentielle et disjonction. Soit a, b et c les objets auxquels se réduit mon univers de discours : (x) Fx équivaut à la conjonction Fa et Fb et Fc ; (∃ x) Fx équivaut à la disjonction Fa ∨ Fb ∨ Fc.

La quantification de la logique moderne a plusieurs conséquences philosophiques. 1° L'extension d'un concept n'est plus un agrégat d'individus empiriques ; elle est un parcours de valeurs pour des variables ; c'est ce qui constitue un univers de discours. 2° L'existence n'est plus définie par rapport aux individus ; elle n'est pas un prédicat et ne figure pas parmi les caractères d'un concept (selon la terminologie de G. Frege) ; c'est une fonction de deuxième niveau, une propriété d'un concept : le fait que tel concept a (ou non) des individus qui « tombent » sous lui. Le concept cesse d'être défini par abstraction à partir des individus empiriques.[...]