OPÉRATIONNELLE RECHERCHE

La caractéristique des problèmes de concurrence

Dans l'univers de la concurrence, l'aléatoire et le combinatoire se rejoignent ; de plus, les éléments nécessaires au calcul des conséquences des décisions possibles ne peuvent plus être évalués ni par un nombre certain, ni par une distribution statistique.

Il faut savoir abandonner la prétention d'une détermination strictement objective des facteurs entrant dans l'évaluation du choix. La théorie des jeux est, dans ce domaine, d'un grand secours (cf. théorie des jeux). On peut sommairement classer ces problèmes en deux catégories : les jeux contre la nature et les jeux à deux personnes. L'espérance mathématique sera largement mise à contribution.

Les jeux contre la nature

Imaginons un compétiteur se trouvant en présence de situations naturelles et hésitant entre plusieurs décisions à prendre. Supposons, par exemple, trois décisions envisagées, d₁, d₂ et d₃, contre trois éventualités possibles, e₁, e₂ et e₃. Pour guider son choix, celui qui décide doit s'efforcer d'apprécier le gain, ou éventuellement la perte, r_ij, que lui vaut la simultanéité de la décision d_i devant l'éventualité e_j ; il ne peut pour cela se fier qu'à son jugement fondé sur la connaissance des faits ; il détermine ainsi la matrice des utilités M = (r_ij). Il lui faut ensuite définir un critère de décision, et cela va dépendre de ses possibilités du moment ; il peut être optimiste, et il accepte le risque, ou prudent, car il a peut-être des raisons de se méfier de la nature : c'est le critère de Wald et von Neumann, lequel, supposant que la nature nous oppose toujours l'éventualité qui nous est le plus défavorable, incite le joueur à la prudence. Dans le premier cas, le joueur prendra la décision correspondant au maximum des maximums de ses décisions et, dans le second cas, celle relative au maximum des minimums ; il limite alors les risques de perte.

Selon Laplace, on peut supposer que, pour des phénomènes naturels sur lesquels on a peu de renseignements, sinon aucune information, il est raisonnable de considérer les éventualités comme équiprobables et de retenir la décision à laquelle est attachée l'espérance mathématique maximale. Par exemple, si la matrice des utilités est :

Dans certains cas, une appréciation du phénomène étant déjà un peu moins floue, on peut se croire autorisé à attribuer aux éventualités une gamme de coefficients de vraisemblance, c'est-à-dire une distribution subjective de probabilités : p₁, p₂ et p₃, par exemple, pour e₁, e₂ et e₃. On retiendra à nouveau la décision à laquelle correspond l'espérance mathématique la plus élevée.

D'autres critères de décision sont utilisables, celui de Savage en particulier, qui s'efforce de tenir compte du regret attaché à l'abandon volontaire de décisions, certes susceptibles d'entraîner des pertes, mais aussi des possibilités de gain important. Ces différents critères, à fondement souvent subjectif, peuvent conduire à des choix totalement différents ; c'est ce qui distingue ce dernier volet de la recherche opérationnelle des deux précédents dans lesquels la décision s'impose en toute objectivité.

Les jeux à deux personnes

Supposons maintenant que l'incertitude ne provienne plus de la nature des choses, mais de l'existence d'une volonté antagoniste.

Remplaçons la nature par un concurrent N disposant librement des décisions e₁, e₂ et e₃ de telle sorte que les résultats qu'il peut escompter sont justement les valeurs opposées des gains du premier joueur (jeu à somme nulle). Par hypothèse, nous supposerons les joueurs prudents (utilisation du critère de Wald,[...]